Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор $B$ и линейный оператор $T$, для которых оператор $TB$ является расширением оператора $BT$: $BT\subseteq TB$. Если операторы $B$ и $T$ определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если $BT=TB$. В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими. В общем случае равенство $BT=TB$ неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор $B^{-1}$ не будет перестановочен с $B$, если $B^{-1}$ определён не на всём пространстве — тогда операторы $BB^{-1}$ и $B^{-1}B$ будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: $B\cup T$ или $B\smile T$.

Свойства

• Если оператор $B$ перестановочен с $T_{1}$ и перестановочен с $T_{2}$, то $B$ также перестановочен с $T_{1}+T_{2}$ и $T_{1}T_{2}$.
• Если $B_{1}$ перестановочен с $T$ и $B_{2}$ перестановочен с $T$, то операторы $B_{1}+B_{2}$ и $B_{1}B_{2}$ перестановочны с $T$.
• Если $B$ перестановочен с $T$ и существует $T^{-1}$, то $B$ перестановочен с $T^{-1}$.
• Если $B$ перестановочен с каждым из операторов $T_{n}\,(n=1,2,\dots )$, то $B$ перестановочен с $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$.
• Если каждый из операторов $B_{n}\,(n=1,2,\dots )$ перестановочен с $T$, то $\lim \limits _{n\to \infty }B_{n}$ перестановочен с $T$ в предположении, что $\lim _{n\to \infty }B_{n}$ ограничен, а $T$ замкнут.
• Если $B$ перестановочен с $T$ и сопряжённый оператор $T^{*}$ существует, то $B^{*}$ перестановочен с $T^{*}$.

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: $AB=BA$. Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы $X$, перестановочные с данной матрицей $A$. Все решения задачи Фробениуса имеют вид

$X=UX_{A}U^{-1},$

где $X_{A}$ — произвольная матрица, перестановочная с $A$, $U$ — матрица, приводящая $A$ к нормальной жордановой форме $J$: $A=UJU^{-1}$. Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

$N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},$

где $n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}$ — степени непостоянных инвариантных многочленов $i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )$ матрицы $A$.

Если линейные операторы $A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}$ в конечномерном пространстве $R$ попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство $R$ на инвариантные относительно всех операторов $A_{i}$ подпространства:

$R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m}$

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов $A_{i}$ был степенью неприводимого многочлена.

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов $A_{1},A_{2},\dots$ в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием.

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых

Литература

• Войцеховский М. И. Перестановочные операторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
• Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. — Минск: Наука и техника, 1966. — 2500 экз.