Сила Кориолиса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
При вращении диска более далёкие от центра точки движутся с большей касательной скоростью, чем менее далёкие (группа чёрных стрелок вдоль радиуса). Переместить некоторое тело вдоль радиуса так, чтобы оно оставалось на радиусе (синяя стрелка из положения «А» в положение «Б») можно, увеличив скорость тела, то есть придав ему ускорение. Если система отсчёта вращается вместе с диском, то видно, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «пытается» уйти влево — это и есть сила Кориолиса.
Траектории шарика при движении по поверхности вращающейся тарелки в разных системах отсчета (вверху — в инерциальной, внизу — в неинерциальной, вращающейся вместе с тарелкой).

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые описавшего её в статье, опубликованной в 1835 году[1][2]. Иногда высказываются мнения, что первым математическое выражение для силы получил Пьер-Симон Лаплас в 1775 году[3], а эффект отклонения движущихся объектов во вращающихся системах отсчёта был описан Джованни Баттиста Риччоли и Франческо Мария Гримальди в 1651 году[4].

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть имеются две системы отсчёта, одна из которых (S) инерциальная, а другая (S\,') движется относительно первой произвольным образом и в общем случае является неинерциальной. Будем также рассматривать движение произвольной материальной точки массы m. Её ускорение по отношению к первой системе отсчёта обозначим \vec a_a , а по отношению ко второй — \vec a_r .

Связь между ускорениями \vec a_a и \vec a_r следует из теоремы Кориолиса (см. ниже):

\vec a_a = \vec a_r  + \vec a_e + \vec a_K,

где \vec a_e перено́сное ускорение, а \vec a_K ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение, поворотное ускорение). Напомним, что переносным ускорением называют ускорение той точки системы S\,' относительно системы S, в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка[5].

После умножения на массу точки и учёта второго закона Ньютона m \vec a_a = \vec F , данное соотношение можно представить в виде

m \vec a_r = \vec F  + (- m \vec a_e) + (- m \vec a_K).

Величину  (- m \vec a_e) называют переносной силой инерции, а величину  (- m \vec a_k) силой Кориолиса (кориолисовой силой). Обозначив их  \vec F_e и  \vec F_K соответственно, можно записать

m \vec a_r = \vec F  + \vec F_e + \vec F_K.

Полученное выражение выражает основной закон динамики для неинерциальных систем отсчёта.

Из кинематики известно, что

\vec a_K = 2 \left[ \vec \omega \times \vec v_r \right],

где \vec \omegaугловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта S\,', \vec v_r — скорость движения рассматриваемой материальной точки в этой системе отсчёта; квадратными скобками обозначена операция векторного произведения. С учётом этого для силы Кориолиса выполняется

\vec F_K =  -2 \, m \, \left[\vec \omega \times \vec v_r \right].

Замечание. Следует иметь в виду, что в силу теоремы Кориолиса и принятой терминологии кориолисово ускорение материальной точки — это часть её ускорения в инерциальной системе отсчёта S[6]. Поэтому было бы неправильно утверждать, что ускорение Кориолиса возникает в неинерциальной системе отсчёта S\,'. По тем же причинам, а также потому, что сила Кориолиса равна произведению массы точки на ускорение Кориолиса со знаком минус, неверным является утверждение о том, действие силы Кориолиса вызывает возникновение ускорения Кориолиса. В соответствии с общепринятой терминологией правильное утверждение заключается в том, что сила Кориолиса, действующая на материальную точку в системе отчёта S\,', вызывает ускорение точки, равное ускорению Кориолиса, взятому со знаком минус.

Теорема Кориолиса[править | править вики-текст]

Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта S\,'  со скоростью \vec {v}_r ;  система S\,'  при этом сама движется относительно инерциальной системы координат S , причём линейная скорость движущегося вместе с ней полюса O  равна \vec {v}_0 ,  а угловая скорость системы S\,'  равна \vec\omega .

Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:

\vec v= \vec {v}_0 + \left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_r ,  причём  \frac{d}{dt}\vec R=\left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_r ,

где \vec R — радиус-вектор точки относительно полюса O .  Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собой переносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость.

Продифференцируем это равенство по времени:

\frac{d}{dt}\vec v= \frac{d}{dt}\vec {v}_0 + \frac{d}{dt}\left[ \vec \omega \times \vec R \right] +\frac{d}{dt} \vec {v}_r.

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

\frac{d}{dt} \vec {v}_0 = \vec {a}_0 ,
\frac{d}{dt} \left[ \vec\omega \times \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \frac{d}{dt} \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right]  + \left[ \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec R \right] \right] + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_r \right],
\frac{d}{dt} \vec {v}_r = \left[ \vec\omega \times \vec {v}_r \right] + \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt} ,

где  \vec {a}_r = \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt}  — линейное ускорение точки относительно системы S\,' ,  \vec \varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt} — угловое ускорение системы S\,' .

Таким образом, имеем:

\frac{d}{dt}\vec v = \vec a=\vec {a}_0  + \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] + \vec {a}_r + 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right].

Полученное равенство служит математическим выражением теоремы КориолисаАбсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части), относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного  2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right] .

Используя обозначения \vec a_e =\vec {a}_0  + \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] и \vec a_K = 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right], получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде:

\vec a_a =  \vec a_e + \vec a_r + \vec a_K.

Причиной возникновения кориолисова ускорения является взаимное влияние друг на друга переносного и относительного движений.

Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри Эме Резалем[7].

Заметим, что если система S  также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины \vec \varepsilon ,  \vec \omega для системы S\,'  в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а  \vec {a}_0  — абсолютным ускорением поступательного движения S\,'  относительно неподвижной инерциальной системы координат.

Заметим также, что в частности, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовой силы - 2 m\left[ \vec \omega \times \vec {v}_r \right] , переносной вращательной силы  - m \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта  - m \vec {a}_0 . Составляющая же ускорения  \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] не отклонит тело от этой прямой, так как является осестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение  \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] + \vec {a}_r = 0 , которое если умножить векторно на  \vec R , то с учетом  \left[ \vec R \times   \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right]\right]=0 получим относительно  \vec {v}_r дифференциальное уравнение  \left[ \vec R \times \frac{ \stackrel{~}{d_r} \vec {v}_r } {dt} \right] \equiv 0 , имеющее при любых \vec R и  \vec {v}_r общим решением  \left[ \vec R \times \vec {v}_r \right] = \vec {Const}, которое и является уравнением такой прямой —  \left[ \vec R \times \vec {v}_r \right] = \vec {0} .

Обсуждение[править | править вики-текст]

Правило Жуковского[править | править вики-текст]

Н. Е. Жуковским была предложена удобная для практического использования словесная формулировка определения ускорения Кориолиса:

Ускорение Кориолиса \vec a_K можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки \vec {v} на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости \vec \omega, увеличив полученную проекцию в \ 2\omega раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Физический смысл[править | править вики-текст]

Пусть точка движется со скоростью \vec {v} вдоль прямой к центру координат инерциальной системы отсчёта (см. рис.).

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения \ R и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой — её переносной скорости.

Как мы знаем, эта скорость движения равна \vec {v}_e = \left[ \vec \omega \times \vec R \right].

Данное изменение будет равно:

d \vec {v}_e= \left[ \vec\omega \times d \vec R \right].

Проведя дифференцирование по времени, получим \vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right] (направление данного ускорения перпендикулярно \vec \omega и \vec {v}).

С другой стороны, вектор \vec {v} для точки, остающейся неподвижной относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол \omega dt. Или приращение скорости будет

\,\! d{v}_r=v \sin \omega dt=v \times \omega dt при t \rightarrow 0,\, соответственно второе ускорение будет:

\vec a= \left[ \vec\omega \times \vec v \right]

Общее ускорение будет \vec {a}_k=2 \left[ \vec\omega \times \vec v \right]. Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости \vec \omega . Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся \vec v . Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется \vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right], а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса и закон сохранения момента импульса[править | править вики-текст]

Если вращающаяся лаборатория, принимаемая за неинерциальную систему отсчёта, имеет конечный момент инерции, то в соответствии с законом сохранения момента импульса при движении тела по радиусу, перпендикулярному оси вращения, угловая скорость вращения будет увеличиваться (при движении тела к центру) или уменьшаться (при движении тела от центра). Рассмотрим эту ситуацию с точки зрения неинерциальной системы.

Хорошим примером может быть человек, который перемещается в радиальном направлении по вращающейся карусели (например, держась за ведущий к центру поручень). При этом с точки зрения человека он при движении к центру будет совершать работу против центробежной силы (эта работа пойдёт на увеличение энергии вращения карусели). На него также будет действовать сила Кориолиса, которая стремится отклонить его движение от радиального направления («сносит» его вбок), и противодействуя сносу (прилагая поперечное усилие к поручню), он будет раскручивать карусель.

При движении от центра центробежная сила будет совершать работу над человеком (за счёт уменьшения энергии вращения), а противодействие силе Кориолиса будет тормозить карусель.

Сила Кориолиса в природе[править | править вики-текст]

Сила Кориолиса, вызванная вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко[8].

Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы[9] (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов[10] (см. геострофический ветер): в Северном полушарии вращение воздушных масс происходит в циклонах против часовой стрелки, а в антициклонах — по часовой стрелке; в Южном — наоборот: по часовой стрелке в циклонах и против — в антициклонах. Отклонение ветров (пассатов) при циркуляции атмосферы — также проявление силы Кориолиса.

Если бы рельсы были идеальными, то при движении железнодорожных составов под воздействием силы Кориолиса один рельс изнашивался бы сильнее, чем второй. В северном полушарии больше изнашивается правый, а в южном левый[11].

Силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане. Она является причиной возникновения гироскопических волн[12].

При идеальных условиях сила Кориолиса определяет направление закручивания воды например, при сливе в раковине. Однако идеальные условия трудно достижимы. Поэтому феномен «обратного закручивания воды при стоке» является скорее околонаучной шуткой.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фрейман Л. С. К истории доказательства теоремы Кориолиса // Труды института истории естествознания и техники / Гл. ред. Н. А. Фигуровский. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 10. — С. 213—244.
  2. Coriolis G. Sur les équations du mouvement relative des systèmes de corps (фр.) // Journ. Ecole polytechn. — 1835. — Vol. 15. — № 24. — P. 142—154.
  3. Manuel López-Mariscal.  Further Coriolis correlation considerations (англ.) // Physics Today. — 2012. — Vol. 65. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1764
  4. Christopher M. Graney.  Coriolis effect, two centuries before Coriolis (англ.) // Physics Today. — 2011. — Vol. 64. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1195
  5. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 156. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  6. Тарг С. М. Кориолиса ускорение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 461. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  7. Веселовский И. Н.  Очерки по истории теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1974. — 287 с. — С. 203—204.
  8. Сила Кориолиса
  9. Краткая географическая энциклопедия. Закон Бэра
  10. Сурдин В.  Ванна и закон Бэра // Квант. — 2003. — № 3. — С. 13.
  11. Хайкин С. Э.  Силы инерции и невесомость. — М.: Наука, 1967.
  12. Научная Сеть. Колебания и волны. Лекции.