Сила Кориолиса

Запрос «Эффект Кориолиса» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

При вращении диска более далёкие от центра точки движутся с большей касательной скоростью, чем менее далёкие (группа чёрных стрелок вдоль радиуса). Переместить некоторое тело вдоль радиуса так, чтобы оно оставалось на радиусе (синяя стрелка из положения «А» в положение «Б») можно, увеличив скорость тела, то есть придав ему ускорение. Если система отсчёта вращается вместе с диском, то видно, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «пытается» уйти влево — это и есть сила Кориолиса.

Траектории шарика при движении по поверхности вращающейся тарелки в разных системах отсчета (вверху — в инерциальной, внизу — в неинерциальной).

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году.

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где a — кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. F_K = − ma. Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

Математическое определение

Сила Кориолиса равна:

$\vec F_K = -m\vec{a}_K = -2 \, m \, \left[\vec \omega \times \vec v \right]$,

где $\ m$ — точечная масса, $\vec \omega$ — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, $\vec v$ — вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.

Величина $\ \vec{a}_K=2 \left[ \vec \omega \times \vec v \right]$ называется кориолисовым ускорением.

Правило Жуковского

Н. Е. Жуковским была предложена удобная для практического использования словесная формулировка определения силы Кориолиса

Ускорение кориолиса $\vec a_K$ можно получить, спроецировав вектор скорости материальной точки в неинерциальной системе отсчёта $\vec {v}$ на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости неинерциальной системы отсчёта $\vec \omega$, увеличив полученную проекцию в $\ 2\omega$ раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Получение

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта S' со скоростью $\vec {v}_n,$ а сама система движется поступательно с линейной скоростью $\vec {v}_0$ в инерциальной системе координат S и одновременно вращается с угловой скоростью $\vec\omega .$

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

$\vec v= \vec {v}_0 + \left[ \vec \omega \times \vec R \right] + \vec {v}_n,$

где $\vec R$ — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

$\frac{d}{dt}\vec v= \frac{d}{dt}\vec {v}_0 + \frac{d}{dt}\left[ \vec \omega \times \vec R \right] +\frac{d}{dt} \vec {v}_n.$

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

$\frac{d}{dt} \vec {v}_0 = \vec {a}_0 ,$

$\frac{d}{dt} \vec {v}_n = \vec {a}_n + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_n \right],$

$\frac{d}{dt} \left[ \vec\omega \times \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \frac{d}{dt} \vec R \right] = \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec\omega \times \vec {v}_n \right] + \left[ \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec R \right] \right],$

где $\vec {a}_n$ — линейное ускорение относительно системы, $\vec \varepsilon$ — угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

$\frac{d}{dt}\vec v = \vec a=\vec {a}_0 + \vec {a}_n + \left[ \vec \varepsilon \times \vec R \right] + \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec R \right] \right] + 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_n \right].$

Последнее слагаемое и будет кориолисовым ускорением.

Заметим, что так как все инерциальные системы отсчёта эквивалентны, в силу принципа относительности Галилея, и возникающие в них силы определяются лишь взаимодействующими телами, а не движением системы. Иными, словами, чтобы тело двигалось прямолинейно относительно неинерциальной СО, необходимо приложить к нему силу(в частности ту, которая будет считаться противодействующей Кориолисовой силе). Обозначим её силой $\vec{F}_P=m \vec{a}_K )$. Тогда в неинерциальной системе отсчёта $\vec{F}_P+vec{F}_K=0$.Итого получаем: $\vec{F}_K = - 2 m\left[ \vec \omega \times \vec {v}_n \right]$, как и ожидалось.

Физический смысл

Пусть тело движется со скоростью $\vec {v}$ вдоль прямой к центру вращения инерциальной системы отсчёта.

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения $\ R$ и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой.

Как мы знаем, эта скорость движения равна $\vec {v}_e = \left[ \vec \omega \times \vec R \right].$

Данное изменение будет равно:

$d \vec {v}_e= \left[ \vec\omega \times d \vec R \right].$

Проведя дифференцирование по времени, получим $\vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right]$ (направление данного ускорения перпендикулярно $\vec \omega$ и $\vec {v}$).

С другой стороны, вектор $\vec {v}$, оставшись неподвижным относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол ωdt. Или приращение скорости будет

$\,\! d{v}_n=v \sin \omega dt=v \times \omega dt$ при $t \rightarrow 0,\,$ соответственно второе ускорение будет:

$\vec a= \left[ \vec\omega \times \vec v \right]$

Общее ускорение будет $\vec {a}_k=2 \left[ \vec\omega \times \vec v \right].$ Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости $\vec \omega .$ Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся $\vec v .$ Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется $\vec a = \left[ \vec\omega \times \vec v \right],$ а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса в природе

Сила Кориолиса, вызванная вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко.

Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов (см. геострофический ветер).

Если бы рельсы были бы идеальными, то при движении железнодорожных составов с севера на юг и с юга на север, под воздействием силы Кориолиса один рельс изнашивался бы сильнее, чем второй. В северном полушарии больше изнашивается правый, а в южном левый.

Силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане. Она является причиной возникновения гироскопических волн.

При идеальных условиях сила Кориолиса определяет направление закручивания воды например, при сливе в раковине. Однако идеальные условия трудно достижимы. Поэтому феномен «обратного закручивания воды при стоке» является скорее околонаучной шуткой.

См. также

• Центростремительное ускорение
• Кориолисовые расходомеры