Сложное движение

В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО) возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух системах отсчета (далее СО).

Геометрия задачи

Материальная точка в двух СО.

Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную», «лабораторную», «неподвижную», «СО неподвижного наблюдателя», «первую», «нештрихованную» и т. п.), другую называют «подвижной» («СО подвижного наблюдателя», «штрихованную», «вторую» и т. п.) и вводят следующие термины:

• абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО. В этой СО радиус-вектор тела будем обозначать $\vec r(t)$, а скорость тела — $\vec V_r$.
• относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта. В этой СО радиус-вектор тела — $\vec {r'}(t)$, скорость тела — $\vec V_{r'}$.
• переносное движение — это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета. Радиус-вектор начала системы координат подвижной СО — $\vec R(t)$, его скорость — $\frac{d\vec R}{dt}$.

Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений. Например, переносная скорость $\vec V_R (t)$ — это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой. В общем случае переносная скорость $\vec V_R (t)$ не равна $\frac{d\vec R}{dt}$, равенство имеет место только в тех случаях, когда подвижная СО движется поступательно.

С точки зрения только чистой кинематики (задачи пересчета кинематических величин — координат, скоростей, ускорений — от одной системы отсчета к другой) не имеет значения, является ли какая-то из систем отсчета инерциальной или нет; это никак не сказывается на формулах преобразования кинематических величин при переходе от одной системы отсчета к другой (то есть эти формулы можно применять и для перехода от одной произвольной неинерциальной вращающейся системы отсчета к другой).

Однако для динамики инерциальные системы отсчета имеют особое значение: в них механические явления описываются наиболее простым образом и, соответственно, уравнения динамики формулируются изначально именно для инерциальных систем отсчета. Поэтому особенно важны случаи перехода от инерциальной системы отсчета к другой инерциальной, а также от инерциальной к неинерциальной и обратно.

В дальнейшем изложении по умолчанию базовая СО предполагается инерциальной, а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Классическая механика опирается на Евклидово пространство и принцип относительности Галилея, что позволяет использовать преобразования Галилея.

Кинематика сложного движения точки

Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта.
Вверху (в инерциальной системе): дырявое ведро с краской двигают на по прямой над поворачивающейся театральной сценой. Траектория прямая.
Внизу (в неинерциальной системе): то же самое, но при взгляде с точки зрения наблюдателя, стоящего на вращающейся сцене. Траектория кривая, и соответствует следу от краски на сцене.

Кинематика движения, основанная на анализе траектории движущегося тела, в общем случае не даёт полной информации для классификации этих движений. Так, движение по прямой в неинерциальной системе отсчёта может быть криволинейным (и, следовательно, обусловленным действующими на тело силами) в инерциальной СО. И, наоборот, прямолинейное в инерциальной СО может быть криволинейным в неинерциальной, и, следовательно, провоцировать представление о якобы действующих на тело силах.

Путь

Абсолютное движение и его путь представлены изменением радиуса вектора $\vec r$, рассматриваемого в виде суммы векторов переносного и относительного движений:

$\vec r = \vec R + \vec {r'}$

Скорость

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Связь скоростей определяется дифференцированием связи для положений. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

$\vec V_r = \vec V_R + \vec V_{r'}$

Данное равенство представляет собой содержание теоремы о сложении скоростей.

Следует отметить, что вместе с приведённым равенством всегда справедливо и соотношение

$\frac{d\vec r}{dt} = \frac{d(\vec R + \vec {r'})}{dt} = \frac{d\vec R}{dt} + \frac{d\vec {r'}}{dt}.$

Однако в общем случае в этом соотношении $\frac{d\vec R}{dt}$ не является переносной скоростью, а $\frac{d\vec {r'}}{dt}$ не относительная скорость. Таковыми они становятся только в тех случаях, когда подвижная СО движется поступательно, то есть, не вращаясь.

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что относительное перемещение также может зависеть от времени.

Обозначим угловую скорость вращения подвижной системы отсчета относительно базовой вектором $\vec\omega$.

Тогда абсолютное ускорение $\vec a_r \equiv d^2\vec r/dt^2$ будет равно сумме:

$\vec a_r = \frac{d^2 \vec R }{dt^2} \ \ + \ \ \frac{d \vec \omega}{dt}\times \vec {r'} \ \ + \vec\omega \times \left[ \vec\omega \times \vec {r'} \right] +\ \ {2\ \vec \omega \times \vec V_r'} \ \ + \ \vec a_{r'}$

Здесь:

• сумма первых трех членов называется переносным ускорением.

• первый член — переносное поступательное ускорение второй системы относительно первой,

• второй член — переносное вращательное ускорение второй системы, возникающее из-за неравномерности ее вращения.

• третий член представляет собой вектор, противоположно направленный осестремительной составляющей $\vec {r'}_n$ вектора $\vec {r'}$, перпендикулярной $\vec \omega$ (что можно получить, рассматривая это двойное векторное произведение — оно равно $- \vec {r'}_n\omega^2$) и потому представляет собой осестремительное ускорение. Оно совпадает с нормальным переносным ускорением той точки вращающейся системы, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка (не путать с нормальным ускорением движущейся точки, направленным по нормали к ее траектории).

• четвертый член есть Кориолисово ускорение, порождаемое взаимным влиянием переносного вращательного движения второй системы отсчета и относительного поступательного движения точки относительно ее.

• последний член $\vec a_{r'} = \frac{ d \vec V_{r'} } {dt}$ — ускорение точки относительно подвижной системы отсчета.

Кинематика сложного движения тела

Сложное поступательное движение тела в трёхмерном пространстве

Согласно Первому закону Ньютона, все виды движений при их рассмотрении в инерциальной системе координат могут быть отнесены к одной из двух категорий. А именно — к категории прямолинейных и равномерных (то есть имеющих постоянную скорость) движений, возможных исключительно при отсутствии нескомпенсированных сил, действующих на тело. Нередко встречающееся, даже в справочной литературе , отнесение этого вида движений к категории поступательных движений противоречит определению понятия «Поступательное движение», поскольку движение, имеющее классификационный признак поступательного, в инерциальной системе может происходить по любой траектории, но не обязательно исключительно по прямой.

К другой категории относятся все остальные виды движений.

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными, абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. В общем случае движение будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела. Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

Силы, действующие на тело, находящееся на поверхности Земли. Чертёж относится к рассмотрению сил, действующих на тело, в двух различных системах отсчёта. Первая — инерциальная система отсчёта, вторая — неинерциальная система отсчёта, связанная с вращающейся Землёй. В первом случае на тело действуют сила гравитационного притяжения и реакция опоры. Их сумма (зелёный вектор) играет роль центростремительной силы и заставляет тело вращаться вместе с Землёй. Во втором случае действует дополнительная сила — переносная сила инерции (синий вектор), в результате действие всех сил уравновешивается, и тело в этой системе отсчёта ускорения не испытывает.

Концепция Ньютона о пропорциональности получаемого телом ускорения под действием любой силы в инерциальных системах отсчёта выполняется всегда. Под силой при этом понимается мера механического действия на данное материальное тело других тел, обязательно являющаяся результатом взаимодействия тел. Альтернатив этой концепции в классическом разделе материалистической физики нет.

Однако при рассмотрении движений в неинерциальной системе отсчёта, наряду с силами, происхождение которых можно проследить, как результат взаимодействия с другими телами и полями, возможно ввести в рассмотрение и физические величины другой природы — силы инерции. Их введение и использование позволяет придать уравнению движения тел в неинерциальных системах отсчёта форму, совпадающую с формой уравнения второго закона Ньютона в инерциальных системах отсчёта.

Для того, чтобы различать силы двух упомянутых видов, термин силы инерции часто сопровождают дополнительным определением, таким, как, например фиктивные или кажущиеся.

Привлечение представлений о силах инерции для описания движения тел в неинерциальных системах отсчёта может быть полезным и эффективным. Например, действием силы инерции в системе отсчёта, связанной с вращающейся вокруг своей оси Землёй, может быть объяснён эффект замедления хода маятниковых часов, наблюдающийся по мере их приближения к экватору. Другой пример — действие силы Кориолиса на воду в реках, текущих в меридиональном направлении. Следствием такого действия является неодинаковость размыва правых и левых (по направлению течения) берегов рек. Ещё более значительным является действие силы Кориолиса на морские течения и воздушные потоки в атмосфере.

Релятивистская механика

Релятивистская механика опирается на неевклидово пространство Минковского и принцип относительности Эйнштейна, что вынуждает прибегать к более сложному преобразованию Лоренца. При скоростях, существенно меньших скорости света, релятивистская механика может быть сведена к классической.

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей: $v_x' = \frac{v_x - u}{1-(v_x u)/c^2}, v_y' = \frac{v_y \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2}, v_z' = \frac{v_z \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2},$

в предположении, что скорость $\vec u$ направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина — быстрота — которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

Неинерциальные СО

Связь скоростей и ускорений в системах отсчёта, движущихся друг относительно друга ускоренно, является значительно более сложной и определяется локальными свойствами пространства в рассматриваемых точках (зависит от производной тензора Римана).

Литература

• Н. Г. Четаев. «Теоретическая механика». М.: Наука. 1987. 368 с.
• М. М. Гернет. «Курс теоретической механики». М.: Высшая школа. 1973. 464 с.

Иллюстрации

• Вращение твёрдых тела в невесомости

Механическое движение