Формула Герона

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где p — полупериметр треугольника: $p = \frac{a + b + c}2$.

Доказательство  

$S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}$,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$. По теореме косинусов:

$c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,$

Отсюда:

$\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},$

Значит,

$\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=$

$={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=$

$={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Замечая, что $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, получаем:

$\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Таким образом,

$S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

ч.т.д.

История

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, придем к формуле вида:

  $S=\frac{\sqrt{(-1)(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}{4}$

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

где $p=\frac{a+b+c+d}2$ — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.)

• Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны $\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}$ как:

  $S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}$, где $\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}$ — полупериметр.

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники).
• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  $16 S^2 = \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Она является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.

См. также

• Теорема котангенсов