Тензорное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств A и B есть линейное пространство, обозначаемое A \otimes B. Для элементов a\in A и b\in B их тензорное произведение a \otimes b лежит в пространстве A \otimes B.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств[править | править вики-текст]

Конечномерные пространства[править | править вики-текст]

Пусть A и B — конечномерные векторные пространства над полем K, \{ e_i \}_{i=1\dots n} — базис в A, \{ f_k \}_{k=1\dots m} — базис в B. Тензорным произведением A \otimes B пространств A и B будем называть векторное пространство, порождённое элементами e_i \otimes f_k, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение a \otimes b произвольных векторов a \in A,~b\in B можно определить, полагая операцию \otimes билинейной:

(\lambda a_1 + \mu a_2) \otimes b = \lambda\, a_1 \otimes b + \mu\, a_2 \otimes b,~~\lambda,\mu \in K
a \otimes (\lambda b_1 + \mu b_2) = \lambda\, a \otimes b_1 + \mu\, a \otimes b_2,~~\lambda,\mu \in K

При этом тензорное произведение произвольных векторов a и b выражается как линейная комбинация базисных векторов e_i \otimes f_k. Элементы в A \otimes B, представимые в виде a \otimes b, называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства[править | править вики-текст]

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства C и билинейного отображения \otimes^\prime: A \times B \to C существует единственное линейное отображение f: A \otimes B \to C такое, что

\otimes^\prime = f \circ \otimes ,

где \circ обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в A и B, так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства A \otimes B оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения L^2 \ni \varphi: A \times B \to C эквивалентно заданию линейного отображения L \ni \varphi: A \otimes B \to C: пространства \ L^2(A \times B, C) и L(A\otimes B, C) являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств[править | править вики-текст]

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V1, V2, и V3 — три векторных пространства. Тензорное произведение V1 ⊗ V2 ⊗ V3, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

\varphi : V_1\times V_2\times V_3 \to V_1\otimes V_2\otimes V_3

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

F:V_1\times V_2\times V_3\to W

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

F = L\circ\varphi

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V1, V2, и V3 — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

V_1\otimes V_2\otimes V_3\cong V_1\otimes(V_2\otimes V_3)\cong (V_1\otimes V_2)\otimes V_3.

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств Vi, i ∈ I, определяется как универсальный объекст для полилинейных отображений из прямого произведения \scriptstyle\prod_{i\in I} V_i.

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

V^{\otimes n} \;\overset{\mathrm{def}}{=}\; \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n}.

Функториальность[править | править вики-текст]

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть A: U_1 \to U_2, B: W_1 \to W_2 — линейные операторы. Тензорное произведение операторов A\otimes B: U_1\otimes W_1 \to U_2\otimes W_2 определяется по правилу

(A\otimes B)(u\otimes w) = (A u)\otimes (B w),~~ u\in U_1,\,w\in W_1

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.[1]

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

\mathrm{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
\mathrm{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

 \mathrm{A} \otimes \mathrm{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} =
 = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Тензорное произведение двух векторов[править | править вики-текст]

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:


\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}
\rightarrow
\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3\end{bmatrix}

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):


\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}
\rightarrow
a_ib^j

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

 P_i^{\ j} = a_ib^j
 P_{ij}\ = a_ib_j
 P^{ij}\ = a^ib^j

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (разложимый тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства[править | править вики-текст]

  • \dim A\otimes B = \dim A \cdot \dim B

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

  • Ассоциативность
(A \otimes B)\otimes C \simeq A \otimes(B \otimes C)
  • Коммутативность
A \otimes B \simeq B \otimes A
  • Линейность
A \otimes (B \oplus C) \simeq (A\otimes B) \oplus (A \otimes C)
\oplus — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей[править | править вики-текст]

Пусть A_1,A_2,\dots,A_n — модули над некоторым коммутативным кольцом R. Тензорным произведением модулей называется модуль B над R, данный вместе с полилинейным отображением f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля C над R и любого полилинейного отображения g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C существует единственный гомоморфизм модулей h\colon B \to C такой, что диаграмма

Tensor product1.gif

коммутативна. Тензорное произведение обозначается A_1 \otimes\ldots\otimes A_n. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль M, образующими которого будут n-ки элементов модулей (x_1,\dots,x_n) где x_i \in A_i. Пусть N — подмодуль M, порождаемый следующими элементами:

  1. (x_1,\dots,x_i + y_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,x_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,y_i,\dots,x_n)
  2. (x_1,\dots,\lambda x_i,\dots,x_n) - \lambda(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль B=M/N, класс (x_1,\dots,x_n) + N обозначается x_1 \otimes \dots \otimes x_n, и называется тензорным произведением элементов x_i, a f определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B полилинейно. Докажем, что для для любого модуля C и любого полилинейного отображения g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C существует единственный гомоморфизм модулей h, такой, что g = h \circ f.

В самом деле, так как M свободен, то существует единственное отображение h^*, делающее диаграмму

Tensor product2.gif

коммутативной, а в силу того, что g полилинейно, то на N h^*(N) = 0, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что h\colon M/N \to C, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы A_1 \otimes \dots \otimes A_n, представимые в виде x_1 \otimes \dots \otimes x_n, называются разложимыми.

Если f_i\colon A_i \to B_i — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

f_1\otimes\dots\otimes f_n\colon A_1\otimes\dots\otimes A_n \to B_1\otimes\dots\otimes B_n

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов f_i.

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть e_{i 1},\dots,e_{i n} — базис модуля A_i. Построим свободный модуль F над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}), определив отображение f(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) \to (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) и распространив его на A_1 \times \dots \times A_n по линейности. Тогда F является тензорным произведением, где (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) является тензорным произведением элементов e_{1m} \otimes e_{2p} \otimes \dots\otimes e_{ns}. Если число модулей и все их базисы конечны, то

\mathrm{rank} (A_1 \otimes \dots \otimes A_n) = \mathrm{rank}\, A_1 \cdot \dots \cdot \mathrm{rank}\, A_n.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Algebras, rings and modules. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4

См. также[править | править вики-текст]