Теорема Гильберта о базисе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть F — идеал в R[x] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p — множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что p — идеал.

В самом деле, если a и b — элементы p, то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F — f(x) = axn + … и g(x) = bxm + … Если, например, mn, то a + b является старшим коэффициентом многочлена xm-nf(x) + g(x), принадлежащего F. Если a является старшим коэффициентом f(x) то ar является старшим коэффициентом rf(x) из идеала F для любого элемента кольца r. Таким образом p — идеал, а так как R — нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a1, a2an, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f1, f2fn из F. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна mr, то можно сделать её такой, домножая на xr-m).

Аналогично доказывается что pk — множество старших коэффициентов многочленов из F, степень которых оавна k, объединённое с нулём кольца — является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами ak1, ak2. Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов fk1, fk2 степени k из идеала F.

Докажем, что многочлены f1, …, fi, …, f11, …, f1i, …, fr-11, …, fr-1i порождают идеал F. Пусть f(x) = axs + … — какой-нибудь многочлен идеала F, тогда a принадлежит p. Если его степень sr, то так как a по доказанному является линейной комбинацией a = r1a1 + r2a2 + …rnan старших членов многочленов f1, f2fn степени r , то мы получим, что f(x) − r1xsrf1r2xs-rf2 − … − rnxs−rfn будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени r.

Для многочлена степени r применяется та же процедура, но с использованием многочленов fk1, fk2 старшие коэффициенты которых порождают идеал pk. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Следствия[править | править вики-текст]

Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от n переменных R[x1, …, xn] нётерово.

Кольцо R[u1, …, un], конечно порожденное над нётеровым кольцом R, также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов R[x1, …, xm]).

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Наука, 1976
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра — М.: ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра — М.: Мир, 1968

См. также[править | править вики-текст]