Теорема Гильберта о базисе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

Содержание 1 Доказательство 2 Следствия 3 Литература 4 См. также

[править] Доказательство

Пусть F — идеал в R[x] (мы здесь будем считать R коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а p множество старших коэффициентов многочленов, его составляющих. Докажем, что p - идеал.

В самом деле, если a и b — элементы p, то a и b являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из F - f(x)=axⁿ+... и g(x)=bx^m+... Если, например, m≥n, то a+b является старшим коэффициентом многочлена x^m-nf(x)+g(x) Î F. Если a является старшим коэффициентом f(x) то ar является старшим коэффициентом rf(x) Î F для любого элемента кольца r. Таким образом p — идеал, а так как R — нётерово кольцо, то p конечно порождается некоторыми элементами a₁, a₂...a_n, являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов f₁, f₂...f_n Î F. Пусть наибольшая степень этих многочленов равна r. Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна r (если она равна m<r, то можно сделать её такой домножая на x^r-m .

Аналогично доказывается что p_k - множество старших коэффициентов многочленов из F, степень которых k≤r (к этому множеству добавен 0 кольца) является идеалом, и потому идеалом, конечно порожденным элементами a_k1, a_k2.... Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов f_k1,f_k2... Î F степени k

Докажем, что эти многочлены f₁, ...f_i...,f₁₁, ...f_1i...,f_r-1,1, ...f_r-1,i... Î F порождают идеал F. Пусть f(x)=ax^s+... - какой-нибудь многочлен идеала F, по определению a Î p. Если его степень s≥r то так как a по доказанному является линейной комбинацией a=r₁a₁+r₂a₂+ ...r_na_n старших членов многочленов f₁, f₂...f_n Î F степени r , то мы получим, что f(x)-r₁x^s-ra₁+r₂x^s-ra₂+ ...r_nx^s-ra_n будет многочленом степени, меньшей, чем s и также принадлежащим идеалу F. Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени ≤r.

Для многочлена степени k<r применяется та же процедура, но с использованием многочленов f_k1,f_k2... Î F, старшие коэффициенты которых порождают идеал p_k. Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

[править] Следствия

Последовательно применяя теорему получаем, что кольцо многочленов от n переменных R[x₁,...x₁] нётерово.

Кольцо R[u₁,...u_n], конечно порожденное над нётеровым кольцом R также нётерово (как фактор-кольцо кольца многочленов R[x₁,...x₁]).

[править] Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М.:Наука, 1976
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра -М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М.:Мир, 1968

[править] См. также

• Гильберт, Давид