Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства.

Определение

Пара $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right)$ называется предгильбертовым пространством, если $X$ — линейное пространство, а $\langle\cdot , \cdot\rangle$ — определённое на $X$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, т.е. положительно определённое.)

Замечание

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

$\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.$

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых $x$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства

• Теорема фон Неймана — Йордмана. Если в полунормированном пространстве $(H,\;\|\cdot\|)$ справедлив закон параллелограмма, то $(H,\;\|\cdot\|)$ — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение $(\cdot,\cdot)$ такое, что $\|x\|=(x,x)^{1/2}$.

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом

$L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\,dx < \infty\right.\right\},$

если скалярное произведение определить как

$\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big).$

Введенное таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство
• Гильбертово пространство