Предгильбертово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение[править | править вики-текст]

Пара \left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right) называется предгильбертовым пространством, если X — линейное пространство, а \langle\cdot , \cdot\rangle — определённое на X скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма[править | править вики-текст]

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых x (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства[править | править вики-текст]

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве (H,\;\|\cdot\|) справедлив закон параллелограмма, то (H,\;\|\cdot\|) — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение (\cdot,\cdot) такое, что \|x\|=(x,x)^{1/2}.

Пример[править | править вики-текст]

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом

L^2([a,b]) = \left\{f\colon[a,b] \to \R\,\left|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\,dx < \infty\right.\right\},

если скалярное произведение определить как

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b]\big).

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).

См. также[править | править вики-текст]