Мнимая единица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Для комплексных чисел[править | править вики-текст]

i на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, мнимые — на вертикальной.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i через радикал (как \sqrt{-1}).

Определение[править | править вики-текст]

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i — это одно из решений уравнения

x^2 + 1 = 0,   или   x^2 =  -1.

И тогда его вторым решением уравнения будет -i, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы[править | править вики-текст]

Степени i повторяются в цикле:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
\ldots

Что может быть записано для любой степени в виде:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

где n — любое целое число.

Отсюда: i^n = i^{n \bmod 4}\, где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число i^i является вещественным :

i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots[1]

Факториал[править | править вики-текст]

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.

Также,

|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .[2]

Корни из мнимой единицы[править | править вики-текст]

Корни квадратные из мнимой единицы
Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}

В частности, \sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\} и \sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Иные мнимые единицы[править | править вики-текст]

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть ="+1" или даже ="0". Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x^2 = -1».

К вопросу об интерпретации и названии[править | править вики-текст]

« Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.
Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.
»

См.также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]