Весовая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции[править | править исходный текст]

Общие определения[править | править исходный текст]

Дискретная весовая функция w: A \to {\Bbb R}^+ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений A, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция w(a) := 1 соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция f: A \to {\Bbb R} определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма f на A определяется как

\sum_{a \in A} f(a);

в отличие от взвешенной суммы w: A \to {\Bbb R}^+, определяемой как

\sum_{a \in A} f(a) w(a).

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

\sum_{a \in B} w(a).

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)

в виде взвешенного среднего арифметического

 \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда [1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия J частные показатели качества x_i нормируются (диапазон изменения [\min{x_i}, \max{x_i}] каждого из них приводится к отрезку [0, 1]): x_i'=\frac{x_i - \min{x_i}}{\max{x_i} - \min{x_i}}, а интегральный критерий рассчитывается как J=\sum_{i=1}^{n}{x_i' w_i}, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов w_1, \ldots, w_n.

Статистика[править | править исходный текст]

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения f, измеренного как f_i несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями \sigma^2_i, наилучшее приближение получается путем усреднения всех результатов измерений с весами w_i=\frac 1 {\sigma_i^2}: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения \sigma^2=1/\sum w_i. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями w_i.

Механика[править | править исходный текст]

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется n объектов с весами w_1, \ldots, w_n (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_n на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии если точка опоры будет расположена в центре масс

\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i},

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат \boldsymbol{x}_i.

Непрерывные весовые функции[править | править исходный текст]

В случае непрерывных величин вес — положительная мера w(x) dx в некотором домене \Omega, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства {\Bbb R}^n на отрезке [a,b]. Здесь dxмера Лебега, а w: \Omega \to \R^+ — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция w(x) часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения[править | править исходный текст]

Если f: \Omega \to {\Bbb R} — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

\int_\Omega f(x)\ dx

может быть дополнен взвешенным интегралом

\int_\Omega f(x) w(x)\, dx

Взвешенный объём[править | править исходный текст]

Если E — подмножество \Omega, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

 \int_E w(x)\ dx.

Взвешенное среднее[править | править исходный текст]

Если \Omega имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx

на взвешенное среднее

 \frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\ dx}

Скалярное произведение[править | править исходный текст]

Если f: \Omega \to {\Bbb R} и g: \Omega \to {\Bbb R} — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx

можно ввести взвешенное скалярное произведение

\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x) dx

(См. также ортогональность)

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Ватутин Э.И. Оценка качества разбиений параллельных управляющих алгоритмов на последовательные подалгоритмы с использованием весовой функции. Материалы межрегиональной научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы» (Интеллект-2005). Тула. С. 29–30. (2005). Архивировано из первоисточника 20 апреля 2012.