Степенная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Степенна́я фу́нкция — функция y=x^a, где a (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида y=kx^a, где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция[править | править вики-текст]

Область определения[править | править вики-текст]

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x>0. Если a>0, то функция определена также и при x=0, иначе ноль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени[править | править вики-текст]

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: T=kA^{3/2} (полукубическая парабола).

Свойства[править | править вики-текст]

См. также: Возведение в степень
  • Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция ~y=\sqrt{x} определена в нуле и его правой окрестности, но её производная ~y=\frac{1}{2\sqrt{x}} в нуле не определена.
  • В интервале (0, \infty) функция монотонно возрастает при a>0 и монотонно убывает при a<0. Значения функции в этом интервале положительны.
  • Производная функции:  \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}.
  • Неопределённый интеграл:
    • Если a \ne -1, то  \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C
    • При a = -1 получаем:  \int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C

Комплексная функция[править | править вики-текст]

Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой[3]:

 y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение i^i равно ~e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, где k — произвольное целое, а его главное значение есть ~e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция  y=z^n однозначна и n-листна[4].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь \frac{p}{q}, то у функции будет q различных значений[3].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.