Градиент
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».
Формальное определение выглядит следующим образом:
Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами 
, 
, 
, где 
— некоторая скалярная функция координат x, y, z.
Если — функция n переменных 
, то её градиентом называется n-мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
Градиент обозначается 
или, с использованием оператора набла, 
.
Из определения градиента следует, что:
Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения 
дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат xi, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Содержание |
[править] Пример
Например, градиент функции 
будет представлять собой:
[править] В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.
[править] Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке 
перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
[править] Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению 
равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор 
:
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
[править] Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где Hi — коэффициенты Ламе.
[править] Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
[править] Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
[править] Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
