Градиент

Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.: Градиент (компьютерная графика).

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины $\varphi$, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве $\varphi$ высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста $\varphi$ в этом направлении.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом называется векторная функция с компонентами $\frac {\partial \varphi} {\partial x}$, $\frac {\partial \varphi} {\partial y}$, $\frac {\partial \varphi} {\partial z}$, где $\varphi$ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $\varphi$ — функция n переменных $x_1,\;\ldots,\;x_n$, то её градиентом называется n-мерный вектор

$\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),$

компоненты которого равны частным производным $\varphi$ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $\mathrm{grad}\,\varphi$ или, с использованием оператора набла, $\nabla \varphi$.

Из определения градиента следует, что

$\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.$

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $d\mathbf{x}$ дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на $d\mathbf{x}$. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).$

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x_i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $d\mathbf{x}$ — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$df=(\partial_i f)\,dx^i$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пример

Например, градиент функции $\varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z$ будет представлять собой:

$\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z)$

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $\varphi$:

$\gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.$

Нетрудно показать, что градиент функции $\varphi$ в точке $\vec{x}{\,}^0$ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\vec{x}{\,}^0$, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $\varphi$ по направлению $\vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n)$ равняется скалярному произведению градиента $\varphi$ на единичный вектор $\vec{e}$:

$\frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e)$

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,$

где H_i — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r. \end{matrix}$

Отсюда:

$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.$

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix}$

Отсюда:

$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix}$.

Отсюда:

$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Формулы векторного анализа
• Оператор набла
• Теория поля
• Градиент концентрации
• 4-градиент
• Оператор Canny

Литература

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30