Классическая теория тяготения Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m_1 и m_2, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть:

F = G \cdot {m_1 \cdot m_2\over R^2}

Здесь G — гравитационная постоянная, равная  6{,}67384(80) \cdot 10^{-11} м³/(кг с²).

Свойства ньютоновского тяготения[править | править исходный текст]

См. также Гравитация

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем. Это поле потенциально, и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M определяется формулой:

 \varphi(r) = -G \frac{M}{r}

В общем случае, когда плотность вещества ρ распределена произвольно, φ удовлетворяет уравнению Пуассона:

\Delta \varphi = -4 \pi G \rho(r),

Решение этого уравнения записывается в виде:

\varphi = -G \int {\frac {\rho(r) dV}{r}} + C,

где r — расстояние между элементом объёма dV и точкой, в которой определяется потенциал φ, С — произвольная постоянная.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m, связана с потенциалом формулой:

F(r) = - m \nabla \varphi(r)

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Точность закона всемирного тяготения Ньютона[править | править исходный текст]

Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности.[1] Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали, что приращение \delta в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r^{-(1+\delta)} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2,1 \pm 6,2)*10^{-3}.[2]. Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения[3]

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9.53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено[4].

Исторический очерк[править | править исходный текст]

Закон тяготения Ньютона

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие[5]. Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире[6]. Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда, Рена и Гука[7]. Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).

В своём основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Исаак Ньютон вывел закон тяготения, основываясь на эмпирических законах Кеплера, известных к тому времени. Он показал, что:

  • наблюдаемые движения планет свидетельствуют о наличии центральной силы;
  • обратно, центральная сила притяжения приводит к эллиптическим (или гиперболическим) орбитам.

Теория Ньютона, в отличие от гипотез предшественников, имела ряд существенных отличий. Ньютон опубликовал не просто предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики. До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической. Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.

Со временем оказалось, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел, и он стал рассматриваться как фундаментальный. В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.

Дальнейшее развитие[править | править исходный текст]

Общая теория относительности[править | править исходный текст]

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия, оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

  1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик: \frac{\varphi}{c^2} \ll 1.
  2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света: \frac{v}{c} \ll 1.

В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Чтобы завершить доказательство, того, что закон всемирного тяготения Ньютона содержится в общей теории относительности, покажем также, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона

\Delta \Phi = - 4 \pi G \rho.

Известно (Гравитационный потенциал), что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:

\Phi = - \frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1).

Найдем компоненту тензора энергии-импульса T_{44} из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:

R_{ik} = - \varkappa (T_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}T),

где R_{ik} — тензор кривизны. Для T_{ik} мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса \rho u_{i} u_{k}. Пренебрегая величинами порядка u/c, можно положить все компоненты T_{ik}, кроме T_{44}, равными нулю. Компонента T_{44} равна T_{44} = \rho c^{2} и, следовательно T = g^{ik} T_{ik} = g^{44} T_{44} = - \rho c^{2}. Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R_{44}=-\frac{1}{2} \varkappa \rho c^{2}. Вследствие формулы

R_{ik} = \frac{\partial \Gamma_{i \alpha}^{\alpha}}{\partial x^{k}} - \frac{\partial \Gamma_{ik}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma_{i \alpha}^{\beta} \Gamma_{k \beta}^{\alpha} - \Gamma_{ik}^{\alpha} \Gamma_{\alpha \beta}^{\beta}

значение компоненты тензора кривизны R_{44} можно взять равным R_{44} = - \frac{\partial\Gamma^{\alpha}_{44}}{\partial x^{\alpha}} и так как  \Gamma^{\alpha}_{44} \approx - \frac{1}{2}\frac{\partial g_{44}}{\partial x^{\alpha}}, R_{44} = \frac{1}{2} \sum_{\alpha} \frac{\partial^{2} g_{44}}{\partial x_{\alpha}^{2}} = \frac{1}{2} \Delta g_{44} = - \frac{\Delta \Phi}{c^{2}}. Таким образом, приходим к уравнению Пуассона: \Delta \Phi = \frac{1}{2} \varkappa c^{4} \rho, где \varkappa = - \frac{8 \pi G}{c^{4}}[8]

Квантовая гравитация[править | править исходный текст]

Однако и общая теория относительности не является окончательной теорией гравитации, так как неудовлетворительно описывает гравитационные процессы в квантовых масштабах (на расстояниях порядка планковского, около 1,6·10−35 м). Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации — одна из важнейших нерешённых задач современной физики.

С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности, энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса фотона, равна нулю[9][10].

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трехсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — В. 36. — С. 184-196..

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили Гравитация, М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00538-8
  2. 10th International conference on General Relativity and Gravitation: Contribut. pap. — Padova, 1983. — Vol. 2, 566 p.
  3. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». — М.: МГПИ, 1984. — 308 с.
  4. Ю.Н. Ерошенко Новости физики в сети Internet (по материалам электронных препринтов), УФН, 2007, т. 177, № 2, с. 230
  5. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 66.
  6. Спасский Б. И. История физики. — Т. 1. — С. 140-141.
  7. Ход их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А., указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс, при круговом движении центростремительная сила F\sim (пропорциональна) v^2\over R, где v — скорость тела, R — радиус орбиты. Но v\sim \frac R T, где T — период обращения, то есть v^2\sim \frac {R^2} {T^2}. Согласно 3-му закону Кеплера, T^2\sim R^3, поэтому v^2\sim \frac {1} {R}, откуда окончательно имеем: F \sim \frac {1} {R^2}.
  8. В. Паули Теория относительности, ОГИЗ, 1947
  9. Фриш Д., Торндайк А. Элементарные частицы. — М.: Атомиздат, 1966. — С. 98.
  10. Окунь Л. Б. Элементарное введение в физику элементарных частиц. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — С. 105. — ISBN 978-5-9221-1070-9
п·о·р
Теории гравитации
Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля
Классическая физика
  • Теория тяготения Ньютона

Релятивистская физика

Принципы

Классические

Релятивистские

Многомерные

Струнные

Прочие