В алгебре деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
степень которого меньше или равна степени многочлена
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
деления чисел столбиком , легко реализуемую вручную.
Для любых многочленов
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
q
(
x
)
+
r
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}
причем
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[1]
Покажем, что
x
3
−
12
x
2
−
42
x
−
3
=
x
2
−
9
x
−
27
−
123
x
−
3
{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}
Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
(
x
3
/
x
=
x
2
)
{\displaystyle \left(x^{3}/x=x^{2}\right)}
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
|
x
−
3
_
|
x
2
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}}
2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого
(
x
2
⋅
(
x
−
3
)
=
x
3
−
3
x
2
)
{\displaystyle \left(x^{2}\cdot \left(x-3\right)=x^{3}-3x^{2}\right)}
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
|
x
−
3
_
x
3
−
3
x
2
|
x
2
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}}
3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой
(
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
−
(
x
3
−
3
x
2
)
=
−
9
x
2
+
0
x
−
42
)
{\displaystyle \left(x^{3}-12x^{2}+0x-42-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-9x^{2}+0x-42\right)}
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
|
x
−
3
_
x
3
−
3
x
2
_
|
x
2
−
9
x
2
+
0
x
−
42
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}}
4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
|
x
−
3
x
3
−
3
x
2
_
|
x
2
−
9
x
¯
−
9
x
2
+
0
x
−
42
−
9
x
2
+
27
x
_
−
27
x
−
42
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}}
5. Повторяем шаг 4.
x
3
−
12
x
2
+
0
x
−
42
|
x
−
3
x
3
−
3
x
2
_
|
x
2
−
9
x
−
27
¯
−
9
x
2
+
0
x
−
42
−
9
x
2
+
27
x
_
−
27
x
−
42
−
27
x
+
81
_
−
123
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}}
6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен
q
(
x
)
=
x
2
−
9
x
−
27
{\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}
r
(
x
)
=
−
123
{\displaystyle r(x)=-123}
↑ Сканави М. И. Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1972. — С. 142—147. — 592 с.
