Экспонента матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы размера экспонента от , обозначаемая как или , — это матрица , определяемая степенным рядом:

,

где  — kстепень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена.

Если  — матрица размера , то матричная экспонента от есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента .

Свойства[править | править код]

Основные свойства[править | править код]

Для комплексных матриц и размера , произвольных комплексных чисел и , единичной матрицы и нулевой матрицы , экспонента обладает следующим свойствами:

  • ;
  • ;
  • ;
  • если , то ;
  • если  — невырожденная матрица, то .
  • , где обозначает транспонированную матрицу для , отсюда следует, что если является симметричной, то тоже симметрична, а если  — кососимметричная матрица, то  — ортогональная;
  • , где обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для , отсюда следует, что если  — эрмитова матрица, то тоже эрмитова, а если  — антиэрмитова матрица, то  — унитарная.

Системы линейных дифференциальных уравнений[править | править код]

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:

,

где  — постоянная матрица, даётся выражением:

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

.

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

,

где  — не постоянная, но разложение Магнуса[en] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммы[править | править код]

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) и экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы и коммутируют (то есть ), то . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства не следует, что и коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — Томпсона[править | править код]

Если и  — эрмитовы матрицы, то[2]:

,

где  — след матрицы . Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц , и .

Теорема Либа[править | править код]

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[en], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы , функция:

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].

Экспоненциальное отображение[править | править код]

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к матрица равна , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

из пространства всех матриц размерности на полную линейную группу порядка , то есть группу всех невырожденных матриц размерности . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел , а не вещественных чисел ).

Для любых двух матриц и имеет место неравенство

,

где обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах .

Отображение:

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при .

Приложения[править | править код]

Линейные дифференциальные уравнения[править | править код]

Пример однородной системы[править | править код]

Для системы:

её матрица есть:

Можно показать, что экспонента от матрицы есть

таким образом, общее решение этой системы есть:

Пример неоднородной системы[править | править код]

Для решения неоднородной системы:

вводятся обозначения:

и

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

где  — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постоянной[править | править код]

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: :

Чтобы было решением, должно иметь место следующее:

Таким образом:

где определяется из начальных условий задачи.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
  2. Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.
  3. E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

Ссылки[править | править код]