Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой
-й степенью.
Пусть
— пространство с мерой, и функции
, то есть
, где
, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда
, и более того:

Сначала докажем, что
суммируема на
.
Введём множества:
.
Перейдём к доказательству неравенства Минковского:
можно применить к ним Неравенство Гёльдера:
Таким образом:
Делим левую и правую части на
.
Неравенство доказано.
Примечание: В случае, когда
неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.
Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве
можно ввести норму:

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.
Рассмотрим Евклидово пространство
или
.
-норма в этом пространстве имеет вид:

и тогда

Если
и
, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.
Пусть
— счётная мера на
. Тогда множество всех последовательностей
, таких что

называется
. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

Пусть
— вероятностное пространство. Тогда
состоит из случайных величин с конечным
-м моментом:
, где символ
обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

- Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.