Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой
p
{\displaystyle p}
-й степенью.
Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
— пространство с мерой , и функции
f
,
g
∈
L
p
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}
, то есть
∫
X
|
f
|
p
d
μ
<
∞
,
∫
X
|
g
|
p
d
μ
<
∞
{\displaystyle \int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty }
, где
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
, и интеграл понимается в смысле Лебега . Тогда
f
+
g
∈
L
p
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}
, и более того:
(
∫
X
|
f
(
x
)
+
g
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
≤
(
∫
X
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
+
(
∫
X
|
g
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
.
{\displaystyle \left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.}
Сначала докажем, что
f
,
g
∈
L
p
(
E
)
⇒
|
f
+
g
|
p
{\displaystyle f,g\in L^{p}(E)\Rightarrow |f+g|^{p}}
суммируема на
E
{\displaystyle E}
.
Введём множества:
E
1
=
E
[
|
f
|
≥
|
g
|
]
E
2
=
E
[
|
f
|
<
|
g
|
]
{\displaystyle E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]}
.
∫
E
1
|
f
+
g
|
p
d
μ
≤
∫
E
1
(
|
f
|
+
|
g
|
)
p
d
μ
≤
2
p
∫
E
1
|
f
|
p
d
μ
.
{\displaystyle \int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .}
∫
E
2
|
f
+
g
|
p
d
μ
≤
∫
E
2
(
|
f
|
+
|
g
|
)
p
d
μ
≤
2
p
∫
E
2
|
g
|
p
d
μ
.
{\displaystyle \int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .}
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
=
∫
E
1
|
f
+
g
|
p
d
μ
+
∫
E
2
|
f
+
g
|
p
d
μ
≤
2
p
∫
E
1
|
f
|
p
d
μ
+
2
p
∫
E
2
|
g
|
p
d
μ
<
∞
.
{\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu +2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .}
Перейдём к доказательству неравенства Минковского:
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
=
∫
E
|
f
+
g
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
≤
∫
E
|
f
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
+
∫
E
|
g
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
;
{\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu ;}
|
f
|
∈
L
p
,
|
f
+
g
|
p
−
1
=
|
f
+
g
|
p
/
q
∈
L
q
⇒
{\displaystyle |f|\in L^{p},|f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q}\in L^{q}\Rightarrow }
можно применить к ним Неравенство Гёльдера :
∫
E
|
f
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
≤
(
∫
E
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
(
p
−
1
)
q
d
μ
)
1
/
q
=
(
∫
E
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
,
{\displaystyle \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p},}
∫
E
|
g
|
|
f
+
g
|
p
−
1
d
μ
≤
(
∫
E
|
g
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
(
p
−
1
)
q
d
μ
)
1
/
q
=
(
∫
E
|
g
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
.
{\displaystyle \int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}
Таким образом:
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
≤
(
∫
E
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
+
(
∫
E
|
g
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
.
{\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}+\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}
Делим левую и правую части на
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
{\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}}
.
Неравенство доказано.
Примечание: В случае, когда
(
∫
E
|
f
+
g
|
p
d
μ
)
1
−
1
/
p
=
0
{\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}=0}
неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.
Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве
L
p
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}
можно ввести норму :
‖
f
‖
p
=
(
∫
X
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
,
{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},}
которая превращает его в нормированное , а следовательно и метрическое пространство .
Рассмотрим Евклидово пространство
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
или
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
.
L
p
{\displaystyle L^{p}}
-норма в этом пространстве имеет вид:
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
,
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⊤
,
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top },}
и тогда
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
+
y
i
|
p
)
1
/
p
≤
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
+
(
∑
i
=
1
n
|
y
i
|
p
)
1
/
p
,
∀
x
,
y
∈
E
.
{\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E.}
Если
n
=
2
,
3
{\displaystyle n=2,3}
и
p
=
2
{\displaystyle p=2}
, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии .
Пусть
X
=
N
,
F
=
2
N
,
m
{\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}
— счётная мера на
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
. Тогда множество всех последовательностей
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
, таких что
‖
x
‖
p
=
(
∑
n
=
1
∞
|
x
n
|
p
)
1
/
p
<
∞
,
{\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty ,}
называется
l
p
{\displaystyle l^{p}}
. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:
(
∑
n
=
1
∞
|
x
n
+
y
n
|
p
)
1
/
p
≤
(
∑
n
=
1
∞
|
x
n
|
p
)
1
/
p
+
(
∑
n
=
1
∞
|
y
n
|
p
)
1
/
p
,
∀
x
,
y
∈
l
p
.
{\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.}
Пусть
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
— вероятностное пространство . Тогда
L
p
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
состоит из случайных величин с конечным
p
{\displaystyle p}
-м моментом :
E
[
|
X
|
p
]
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }
, где символ
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
обозначает математическое ожидание . Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:
(
E
|
X
+
Y
|
p
)
1
/
p
≤
(
E
|
X
|
p
)
1
/
p
+
(
E
|
Y
|
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle \left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.}
Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М. : Наука , 1973. — 352 с.