Тривиальные объекты в алгебре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Нулевой объект (алгебра)»)
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения Tx = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}».

Важнейшими из таких объектов являются:

В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R.

Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.

Трактовка при помощи теории категорий[править | править код]

Морфизмы в и из нулевого объекта

С точки зрения теории категорий, тривиальный объект является терминальным, а иногда (в зависимости от определения морфизма) нулевым (то есть одновременно терминальным и начальным) объектом.

Тривиальный объект единственен с точностью до изоморфизма.

Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм A → {0} существует и единственен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта A в 0.

2  = []  ‹0

1
^
0

1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (справа), умножен на пустую матрицу 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (слева). Правила умножения матриц соблюдены.

В категориях Rng (колец без обязательной единицы), R-Mod и VectR, тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм {0} → A существует и единственен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает 0, единственный элемент объекта {0}, в нуль 0 ∈ A. Это мономорфизм, и его образ (подмодуль/подпространство в A, порождённый нулём элементов) изоморфен {0}.

Структуры с единицей[править | править код]

В структурах с единицей (нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство 1 ≠ 0).

В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом, а не {0}.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]