Разложение на ручки

Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$

где каждое $M_{i}$ получается из $M_{i-1}$ путём присоединения $i$-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру $S^{n}$ с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения $\chi :D^{n}\to S^{n}$ в окрестности $S^{n-1}$.

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность $N_{p}$ диффеоморфна $D^{m}$. Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение $N_{p}$ и $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$, склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$, её трубчатая окрестность диффеоморфна $I\times D^{m-1}$. Это позволяет записать $M$ как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

1. $D^{m}$
2. $I\times D^{m-1}$
3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$.

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем $I\times D^{m-1}$ с $D^{m}$, отношение эквивалентности образуется путём вложения $(\partial I)\times D^{m-1}$ в $\partial D^{m}$, которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение $f:S^{j-1}\times D^{m-j}$ в $\partial M$. Пусть $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$. Многообразие $M\cup _{f}H^{j}$ (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению $M$ и $H^{j}$ с отождествлением $S^{j-1}\times D^{m-j}$ с его образом в $\partial M$, то есть:

$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$

где отношение эквивалентности $\sim$ задаётся как $(p,x)\sim f(p,x)$ для всех $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$.

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия $M$ определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось $M$ . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

Терминология

Возьмём объединение M с j-ручкой $H^{j}$:

$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой).

$f$ иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

$\{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}$ является опоясывающей сферой ручки $H^{j}$ в $M\cup _{f}H^{j}$.

Многообразие, полученное присоединением $g$ копий $k$-ручек к диску $D^{m}$, является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ и фильтрации

$W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W$

где $M_{0}$ и $M_{1}$ являются $m$-мерными многообразиями, $W$— $m+1$-мерным, $W_{-1}$ диффеоморфно $M_{0}\times [0,1]$, а $W_{i}$ получается из $W_{i-1}$ путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса $f:M\to \mathbb {R}$ на компактном многообразии M без края, таком что критические точки $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ функции $f$ удовлетворяют $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$ и выполняется

$t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}$,

тогда для всех j $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ диффеоморфно $(f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}$, где $I(j)$ — индекс критической точки $p_{j}$. Индекс $I(j)$ соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства $T_{p_{j}}M$, где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству $I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$, то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм $W$ с $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ и функция $f:W\to \mathbb {R}$, которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если $f$ — функция Морса $M$, $-f$ также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюдения

• Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова $T^{1}$, а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
• Если присоединить две ручки в последовательности $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$, можно изменить порядок присоединения, обеспечивая $j\leqslant i$, то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ для подходящих отображений присоединения.
• Граница $M\cup _{f}H^{j}$ диффеоморфна $\partial M$, разрезанному вдоль оснащённой сферы $f$. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
• Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из $S^{m}$ хирургией на наборе оснащённых зацеплений в $S^{m}$. Например, известно, что любое 3-многообразие является границей 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

• Ручка Кассона
• Теория [ко]бордизмов
• CW-комплекс
• Тело с ручками
• Исчисление Кирби
• Разложение многообразия

Литература

• Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
  • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
• Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литература

• Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
• Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.