Теорема о свёртке

Теорема о свёртке гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.

Функции непрерывной переменной

Рассмотрим две функции $u(x)$ и $v(x)$ с соответствующими преобразованиями Фурье $U$ и $V$:

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ,\end{aligned}}$

где ${\mathcal {F}}$ обозначает оператор преобразования Фурье. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно $2\pi$ или ${\sqrt {2\pi }}$) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка $u(x)$ и $v(x)$ определяется как:

$r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .$

В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения $\otimes$.

Теорема о свёртке утверждает, что:

$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R}$

(Ур. 1a)

Применение обратного преобразования Фурье ${\mathcal {F}}^{-1},$ даёт следствие:

Теорема о свёртке $r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\},\quad$ где $\displaystyle \cdot$ обозначает поточечное произведение

(Ур. 1b)

Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.

Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных

Рассмотрим функции $u,v$ в L^p-пространстве $L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ и преобразования Фурье $U,V$:

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}$

где $f\cdot x$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb {R} ^{n}$: $f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j}$ и $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

Свёртка $u$ и $v$ определяется как:

$r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau .$

Также:

$\iint |u(\tau )v(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |u(\tau )|\,\|v\|_{1}\,d\tau =\|u\|_{1}\|v\|_{1}.$

Отсюда по теореме Фубини следует, что $r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Поэтому его преобразование Фурье $R$ определяется интегральной формулой:

${\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}$

Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):

${\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{V(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{U(f)}\ V(f).\end{aligned}}$

Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа, двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об инверсии Меллина). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.

Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье)

Рассмотрим $P$-периодическую функцию $u_{_{P}}$ и $v_{_{P}}$, которые могут быть выражены как периодические суммы:

$u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)$ и $v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).$

На практике ненулевая часть компонентов $u$ и $v$ часто ограничивается продолжительностью $P$, но ничто в теореме этого не требует.

Коэффициенты ряда Фурье:

${\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

где ${\mathcal {F}}$ обозначает интеграл ряда Фурье.

• Поточечное произведение $u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)$ также $P$-периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой $U$ и $V$:
• Свёртка:

${\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\end{aligned}}$

также Р-периодична и называется периодической свёрткой.

Вывод периодической свёртки

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ — произвольный параметр}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ по периодичности}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{замена }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}$

Соответствующая теорема свёртки имеет вид:

${\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].$

(Ур. 2)

Вывод ур. 2

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],{\text{ по периодичности}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}$

Функции дискретной переменной (последовательности)

Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ). Рассмотрим две последовательности $u[n]$ и $v[n]$ с преобразованиями $U$ и $V$:

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Дискретная свёртка $u$ и $v$ определяется:

$r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].$

Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид:

$R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).$

(Ур. 3)

Периодическая свёртка

$U(f)$ и $V(f)$, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим $N$-периодические последовательности $u_{_{N}}$ и $v_{_{N}}$:

$u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]$ и $v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$

Эти функции возникают в результате выборки $U$ и $V$ с интервалом в $1/N$ и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:

$\{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m],$

она также является $N$-периодической и называется периодической свёрткой. Переопределим оператор ${\mathcal {F}}$ как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид:

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .$

(Ур. 4a)

И следовательно:

$\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.$

(Ур. 4b)

При соответствующих условиях возможно, что $N$-значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки $u*v$. Но когда ненулевая часть $u(n)$ или $v(n)$ последовательности равна или длиннее, чем $N$, неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта.

Для последовательностей $u$ и $v$, ненулевая длина которых меньше или равна $N$, окончательное упрощение имеет вид:

Периодическая свёртка $\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.$

(Ур. 4c)

Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано, что любое линейное преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).

Вывод ур. 4

Вывод во временной области осуществляется следующим образом:

${\begin{aligned}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{due to periodicity}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}$

ДВПФ можно записать в виде:

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}$

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).$

Произведение $V(f)$ тем самым сводится к дискретно-частотной функции:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)&=G_{_{N}}(f)V(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}$

где эквивалентность $V(k/N)$ и $\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)$ следует по свойству выборки ДВПФ. Таким образом, эквивалентность (5a) и (5b) требует:

$\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{u_{_{N}}*v\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).$

Мы также можем проверить обратное ДВПФ из (5b):

${\begin{aligned}(u_{_{N}}*v)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}$

Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье

Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «$\cdot$» представляет собой произведение Адамара, а «$*$» представляет свёртку двух матриц.

${\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}$

так что

${\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}$

Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста

Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:

${\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}$

Но $u=F\{\alpha \}$ должно «быстро убывать» по направлению к $-\infty$ и $+\infty$, чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если $\alpha =F^{-1}\{u\}$ — гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует существование как умножения, так и произведения свёрток.

В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция, является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые функции, такие как функция, которая постоянно равна $1$, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, $v\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ является гребнем Дирака, то оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона, и если, кроме того, $\alpha \equiv 1$ является дельта-функцией, то $\alpha \equiv 1$ постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.