Преобразование Хартли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брейсуэллом (англ.) в 1983 году.

Определение[править | править вики-текст]

Прямое преобразование[править | править вики-текст]

Преобразование Хартли рассчитывается по формуле

где
 — ядро Хартли.

Обратное преобразование[править | править вики-текст]

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

Уточнения[править | править вики-текст]

  • Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
  • Можно использовать коэффициент вместо , полностью опустив коэффициент ;
  • Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье[править | править вики-текст]

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

где
 — мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

Для вещественных функций преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

где
и  — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства[править | править вики-текст]

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции и имеют преобразования Хартли и соответственно, то их свёртка будет иметь преобразование

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas[править | править вики-текст]

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

то

и

Производная ядра равна

Литература[править | править вики-текст]