Тригонометрические функции от матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.

Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка.[1] Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:[2]

где Xn означает матрицу X в степени n, а I — единичную матрицу той же размерности.

Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера eiX = cos X + i sin X:

Например, пусть X — стандартная матрица Паули:

Тогда

Можно вычислить и кардинальный синус:

Свойства[править | править код]

Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:[2]

Если X является диагональной матрицей, sin X и cos X также являются диагональными матрицами, причём (sin X)nn = sin(Xnn) и (cos X)nn = cos(Xnn), то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.

Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрица коммутируют, то есть XY = YX:[2]

Другие функции[править | править код]

Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:[3]

(см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм (англ.), Квадратный корень из матрицы)

и так далее.

Примечания[править | править код]

  1. (2005) «Efficient Algorithms for the Matrix Cosine and Sine». Numerical Analysis Report (Manchester Centre for Computational Mathematics) (461).
  2. 1 2 3 Nicholas J. Higham. Functions of matrices: theory and computation. — 2008. — P. 287f. — ISBN 9780898717778.
  3. Scilab trigonometry.