Условное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения[править | править вики-текст]

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .

Дискретные случайные величины[править | править вики-текст]

Пусть и  — случайные величины, такие, что случайный вектор имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности . Пусть такой, что . Тогда функция

,

где  — функция вероятности случайной величины , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править вики-текст]

Пусть и  — случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где  — плотность случайной величины . Тогда функция

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений[править | править вики-текст]

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  • ,
  • ,

и

  • почти всюду на ,
  • ,
  • ,
  • .
  • Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:

или

почти всюду на .

Условные вероятности[править | править вики-текст]

Дискретные случайные величины[править | править вики-текст]

Если  — счётное подмножество , то

.

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править вики-текст]

Если  — борелевское подмножество , то полагаем по определению

.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как .

Условные математические ожидания[править | править вики-текст]

Дискретные случайные величины[править | править вики-текст]

.
  • Условное математическое ожидание при условии случайной величины  — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.

Абсолютно непрерывные случайные величины[править | править вики-текст]

  • Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения:
.
  • Условное математическое ожидание при условии случайной величины  — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.