Волна де Бройля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Квантовая механика
См. также: Портал:Физика

Волна́ де Бро́йля — волна вероятности (или волна амплитуды вероятности[1]), определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах[2] и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну[3], по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц[править | править код]

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме , то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к , — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом . Все частицы, имеющие конечный импульс , обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции[4].

Природа волн де Бройля[править | править код]

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля[править | править код]

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны , связанной с движущейся частицей вещества, от импульса частицы, а полной энергии  — от частоты , в виде релятивистски инвариантных соотношений:

где  — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

где  — волновой вектор, модуль которого  — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на единицах длины,  — циклическая частота,  — единичный вектор в направлении распространения волны, Дж·с.

Полная энергия включает кинетическую энергию и энергию покоя , в терминах которых

где hc=1240 эВ×нм, и значения равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, 511 кэВ для электрона, и 938 МэВ для протона.

Нерелятивистский предел[править | править код]

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью (скорости света), для импульса справедлива формула (где  — масса частицы), для кинетической энергии  — формула . Тогда длина волны де Бройля

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов вольт

Ультрарелятивистский предел[править | править код]

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, , длины волны равна [5].

Формулы де Бройля для четырёхвекторов[править | править код]

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид[6]:

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор[6]:

где  — комптоновское волновое число, обратное приведенной комптоновской длине волны

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля[править | править код]

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы :

.

Иллюстрация[править | править код]

Иллюстрация волны де Бройля

Для частицы массой , покоящейся в инерциальной системе отсчёта псевдоевклидовой плоскости 4-пространства Минковского, движущейся со скоростью относительно условно неподвижной системы вдоль положительного направления оси , формула квантовомеханической амплитуды вероятности обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:

,[7]

где: ;

Здесь:  — частота изменения фазы;

 — энергия покоящейся частицы;
 — приведённая постоянная Планка:
 — скорость света;
 — комптоновская длина волны покоящейся частицы массой [8].

На рисунке обозначено: . Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси . Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией

;

На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки и , в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке , принятой за начальное. Для нештрихованной системы отсчёта фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства[7].

Линии равных фаз системы пересекают как временную, так и пространственную оси системы , разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.

Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках и фаза отличается на целое число относительно фазы в точке , то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число .[8] Отсюда следует, что отрезки по осям и представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.

Согласно релятивистской концепции, применяя преобразования Лоренца,[9] из рисунка следует:

,

где:  — период изменения фазы в нештрихованной системе. Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:

,

где:  — круговая частота изменения фазы в системе ;

 — полная энергия частицы в системе отсчета ;

Здесь учтено, что скорость частицы равна скорости перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.

Из треугольника , принимая во внимание, что и учитывая, что , получим:

,

где:  — длина волны де Бройля;

 — импульс частицы.

Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:

;

Заменив на в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:

;

Отождествляя полную энергию частицы и её импульс с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что , формула амплитуды волны де Бройля запишется так:

;[7]

Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки в точку ) определяется непосредственно из треугольника :

;

Монохроматическая волна де Бройля перемещается в свободном пространстве с той же скоростью и в том же направлении, что и частица. Эта волна характеризуется соотношениями и . То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации.[10] Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.

Явление корпускулярно-волнового дуализма присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой г, движущейся со скоростью м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.[8]

Зависимость длины волны от скорости частицы[править | править код]

Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.

При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала , поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы.[9] Точка (Рисунок 1) пересечения временной оси с инвариантной (единичной) гиперболой[9] , которая определяет длину в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей и . При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка пересечения этой линии с осью устремляется к началу O. То есть, при длина волны , а импульс частицы .

При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол наклона оси к оси и оси к оси стремится к нулю. Точка пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке . При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку , стремится к параллельности с осью , а точка пересечения этой линии с осью устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси . Это означает, что при длина волны , а импульс частицы . В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны .

Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов и можно утверждать: , что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: .

Экспериментальная проверка[править | править код]

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики[11]:

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4, 1976, с. 221–222, 412.
  2. Louis de Broglie «The Reinterpretation of Wave Mechanics» Foundations of Physics, Vol. 1 No. 1 (1970) (недоступная ссылка)
  3. М. Борн. Размышления и воспоминания физика: Сборник статей / Отв. ред. Э. И. Чудинов. — М.: Наука, 1977. — С. 16. — 280 с.
  4. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 17-18
  5. Волна де Бройля — статья из Физической энциклопедии
  6. 1 2 Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — С. 14
  7. 1 2 3 Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика Гл. 5. § 1, § 2.
  8. 1 2 3 Вихман Э. Квантовая физика. — М.: Наука, 1977. — С. 156—157, 185, 187—188. — 415 с.
  9. 1 2 3 Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977, - С. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 с.
  10. Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Курс общей физики, том III. — М.: Наука, 1972. — С. 282—283. — 496 с.
  11. Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Раздел 2.2. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля // Квантовая физика. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — Т. 5. — 496 с. — 3000 экз. — ISBN 5-7038-2797-3. Архивная копия от 26 апреля 2009 на Wayback Machine

Литература[править | править код]

  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
  • www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.

Ссылки[править | править код]