Главным образом интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны, прошедшей через среду, и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.
Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля
. Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей; тогда
удовлетворяет
волновому уравнению:
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\mathbf {r} ,\;t)}{\partial t^{2}}}-\Delta u(\mathbf {r} ,\;t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bdc161eb9c62baf67e089eb41e2d0a157fa4f7)
![{\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)=\varepsilon _{0}+\delta \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e015d0eea32aed5bcfbb615dd88653e4f3c0cc82)
где
— скорость света в вакууме,
— среднее значение диэлектрической проницаемости,
— флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости
предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна. Также с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и неусреднённая диэлектрическая проницаемость
не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядков больше характерных времён электромагнитного поля, поэтому среда как бы «не успевает среагировать» на изменение поля.
Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нём присутствует случайный параметр
. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.
Описывая рассеяние, интересны характеристики поля
, усреднённые по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля
и интенсивность
, которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведётся по флуктуациям диэлектрической проницаемости)
. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усреднённое отклонение от среднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:
![{\displaystyle \langle \delta \varepsilon (\mathbf {r} )\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e8f7b49f9e42f99850b4eebd7fd29022305108)
Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде
. Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:
![{\displaystyle u(\mathbf {r} ,\;t)=u_{0}\exp[i\mathbf {k_{0}} \mathbf {r} -iwt].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75015865c2067de47841e2cec5e6f77089459420)
Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:
![{\displaystyle -{\frac {w^{2}\varepsilon _{0}}{c^{2}}}u(\mathbf {r} ,\;t)+k_{0}^{2}u(\mathbf {r} ,\;t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72edcffec804703b53f0ef05beff0d2947334032)
Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны
и волновой вектор
связаны дисперсионным соотношением:
![{\displaystyle k_{0}^{2}={\frac {w^{2}\varepsilon _{0}}{c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4973be1b5f9131f993f38d891d13d83b356802)
Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Определим функцию Грина
. Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения, в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника
). Полагаем, что источник «адиабатически включился в бесконечно далёком прошлом», для этого дополним правую часть множителем
, где
— малая положительная величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}G(\mathbf {r} ,\;t)}{\partial t^{2}}}-\Delta G(\mathbf {r} ,\;t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta (\mathbf {r} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916b56ba7c721d174fb64cb9f3dc7a9920584067)
Удобно искать решение этого уравнения в виде
. Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )G(\mathbf {r} )}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}e^{-iwt+\alpha t}}{\partial t^{2}}}-e^{-iwt+\alpha t}\Delta G(\mathbf {r} )=e^{-iwt+\alpha t}\delta (\mathbf {r} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff04a7e778e56944b09ec7080d9078cec44217ba)
От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель
, тогда получаем уравнение для функции
:
![{\displaystyle {\frac {-\varepsilon (\mathbf {r} )(w+i\alpha )^{2}}{c^{2}}}G(\mathbf {r} )-\Delta G(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da48ea4009e8d8a7e0e504c68cb360706c35446)
Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости
а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям
. Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение
малой величиной.
Функция Грина для среды без флуктуаций диэлектрической проницаемости
[править | править код]
Для начала необходимо найти функцию Грина
, отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемости, то есть
:
|
(1)
|
Снова ищем решение в виде
. Тогда
удовлетворяет уравнению:
|
(2)
|
где величиной
. Видно, что у
присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение
удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:
|
(3)
|
|
(4)
|
Выражение
— прямое Фурье-преобразование,
— Фурье-образ функции
, выражение
— обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина
будем обозначать через
. Применяя Фурье-преобразования к уравнению
и учитывая, что
-функция является Фурье-образом единицы, получаем:
|
(5)
|
|
(6)
|
Чтобы получить функцию
, делаем обратное Фурье-преобразование
:
|
(7)
|
Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора
(под полярной осью понимается ось, от которой отсчитывается угол
):
![{\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,d\mathbf {k} ={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int \limits _{0}^{\infty }k^{2}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f69a266afe1168c174eb73bae96c21a23f82603)
![{\displaystyle ={\frac {2\pi }{8\pi ^{3}}}\int \limits _{\pi }^{0}\,d\cos \theta \int \limits _{0}^{\infty }k^{2}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{\Bigl [}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{ikr\cos \theta }}{\Bigr ]}_{\pi }^{0}\,dk=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62925b1c23f84ce748b370ef45887368670fd62)
![{\displaystyle ={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{\Bigl (}{\frac {e^{ikr}}{ikr}}-{\frac {e^{-ikr}}{ikr}}{\Bigr )}\,dk={\frac {1}{4\pi ^{2}ir}}{\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c230360210f55a92d55839c7235f22d539c6a86)
![{\displaystyle ={\frac {1}{8\pi ^{2}ir}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {ke^{ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk-{\frac {1}{8\pi ^{2}ir}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {ke^{-ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk={\frac {2\pi ie^{ik_{0}r}}{8\pi ^{2}ir2}}+{\frac {2\pi ie^{ik_{0}r}}{8{\pi }^{2}ir2}}={\frac {e^{i{k_{0}}r}}{4\pi r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071325b5570dcbc2e084e8f8523a819174ce3271)
Для вычисления интеграла по сферическим координатам мы воспользовались четностью функции
, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает
, тогда вычет берётся в
. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке
, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Направление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель
.
Итоговое выражение для функции Грина будет:
![{\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} ,\;t)={\frac {e^{ik_{0}r-iwt+\alpha t}}{4\pi r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada904dd21c41ab59e8b9d678ccc2876206a447f)
Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как
по мере удаления от источника.
Перепишем уравнение
![{\displaystyle -{\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )(w+i\alpha )^{2}}{c^{2}}}G(\mathbf {r} )-\Delta G(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb52cffae2ee0ea2bc0474aae5828368531a916)
в виде
![{\displaystyle (-k_{0}^{2}-\Delta )G(\mathbf {r} )={\frac {\delta \varepsilon (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}k_{0}^{2}G(\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0b89397283ef76b9e5448ab88b0fff8c768365)
Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать
малой величиной, удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:
![{\displaystyle G(\mathbf {r} )=G_{0}(\mathbf {r} )+{\frac {{k_{0}}^{2}}{\varepsilon _{0}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1}} )\,dr_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d95f58f71556c9f3e97bc7ddbbae01702d58f1)
Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:
![{\displaystyle G(\mathbf {r} )=G_{0}(\mathbf {r} )+{\frac {k_{0}^{2}}{\varepsilon _{0}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )G_{0}(\mathbf {r_{1}} )\,d\mathbf {r_{1}} +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcc703bd6ab1afb08fb855c83a1a4eaeef462b4)
![{\displaystyle +{\frac {k_{0}^{4}}{\varepsilon _{0}^{2}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )\int G_{0}(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{2}} )G_{0}(\mathbf {r_{2}} )\,d\mathbf {r_{1}} \,d\mathbf {r_{2}} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8778db5af99e2d471eca68a8531bd2d80b57d0)
Величина
— случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднить по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоёмкий шаг.
- Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. — Ч. 2. Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
- Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. — Т. 1, 2. — М.: Мир, 1981.