Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение $\mathbf {a}$ броуновской частицы массы $m$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы $\mathbf {v}$ (закон Стокса), шумового члена ${\boldsymbol {\eta }}(t)$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и $\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )$ — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

$m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )-\gamma \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}(t).$

Решение уравнения

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

$m{\ddot {x}}=-{\frac {1}{B}}{\dot {x}}+F(t)$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

$\langle F(t)\rangle =0$

$\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})$

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, $\delta (t_{1}-t_{2})$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

${\dot {v}}=-\lambda v+{\frac {F}{m}}$, где $\lambda ={\frac {1}{mB}}$

Пусть в начальный момент времени $t=t_{0}$ частица имела скорость $v_{0}$. Будем искать решение в виде: $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$, тогда для $u(t)$ получим следующее дифференциальное уравнение:

${\dot {u}}(t)=\exp(\lambda t){\frac {F}{m}}$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

$v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m}}\exp(\lambda \tau )d\tau$

Из него следуют два важных соотношения:

1. $\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. $\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left(1-\exp(-2\lambda t)\right)$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента $b$:

$b=2{\frac {k_{B}T}{B}}$

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

${\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt}}={\frac {2}{\lambda }}\left\langle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle$

$\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt$

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

$D=k_{B}TB$

где B — подвижность броуновской частицы.

Ссылки

• W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation