Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой
-й степенью.
Формулировка
Пусть
— пространство с мерой, и функции
, то есть
, где
, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда
, и более того:
![{\displaystyle \left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad277348caa66ec15e9bc7bc21b5d41d5cbe6eed)
Доказательство
Сначала докажем, что
суммируема на
.
Введём множества:
.
Перейдём к доказательству неравенства Минковского:
можно применить к ним Неравенство Гёльдера:
Таким образом:
Делим левую и правую части на
.
Неравенство доказано.
Примечание: В случае, когда
неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.
Замечание
Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве
можно ввести норму:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d03594c39e7cee1c93226f8e15604627ceb8435)
которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.
Частные случаи
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство
или
.
-норма в этом пространстве имеет вид:
![{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e75bcac33f9b770c71419c6c5b4bfe8b6eda1)
и тогда
![{\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c4e256f23075f85d634b06883de361cd43256e)
Если
и
, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.
Пространство lp
Пусть
— счётная мера на
. Тогда множество всех последовательностей
, таких что
![{\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8172ed9428ceb4de8860e7546a73c187ed94d419)
называется
. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:
![{\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc36feae9b7516d4ba8f63c4305497cb66b3f39)
Вероятностное пространство
Пусть
— вероятностное пространство. Тогда
состоит из случайных величин с конечным
-м моментом:
, где символ
обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:
![{\displaystyle \left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aba8291b9a82554f45109fc511ba87c860052d5)
Литература
- Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.
См. также