Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: $\Pi _{4}^{(4)}=1+4+9+16=30$.

• Пятиугольное пирамидальное число.
• Шестиугольное пирамидальное число.
• Семиугольное пирамидальное число.

Определение

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

$n$-е по порядку $k$-угольное пирамидальное число $\Pi _{n}^{(k)}$ есть сумма первых $n$ плоских фигурных чисел $P_{n}^{(k)}$ с тем же числом углов $k$: $\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}$

Геометрически пирамидальное число $\Pi _{n}^{(k)}$ можно представить как пирамиду из $n$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до $P_{n}^{(k)}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду:

$\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}$ (ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

$\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)$

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа
• Figurate Numbers на сайте MathWorld (англ.)
• Centered Polygonal Number на сайте MathWorld (англ.)