Тело (алгебра)

Те́ло — кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Иными словами, это множество с двумя операциями (сложение и умножение), обладающее следующими свойствами:

• образует абелеву группу относительно сложения;
• все ненулевые элементы образуют группу относительно умножения;
• имеет место дистрибутивность умножения относительно сложения.

Возникло как обобщение понятия поля (которое может быть определено как тело с коммутативным умножением). По теореме Веддербёрна всякое конечное тело является полем. Самый известный пример тела, не являющегося также полем — тело кватернионов $\mathbb {H}$.

Свойства

• По лемме Шура кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом; таким образом, каждое тело может быть получено из некоторого простого модуля.

• Центр тела является полем, любое тело является векторным пространством над своим центром и алгеброй над своим центром.

Вариации и обобщения

• Альтернативное тело — в общем случае неассоциативное кольцо с единицей, в котором каждые два элемента порождают ассоциативное подтело.

Литература

• Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. — М.: Наука, 1990. — 320 с.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.