Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени $p(x)=x^{5}-1$. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций

Бассейн Ньютона, ширина поиска 1.5.

Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:

$z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n})}}.$

Выбор начального приближения $z_{0}$ представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?

История

Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.

Три корня

Рассмотрим уравнение:

$p(z)=0$, $p(z)=z^{3}-1$

Оно имеет три корня. При выборе различных $z_{0}$ процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.

Построение

По следующей формуле:

$z_{i+1}=z_{i}-{\frac {p(z_{i})}{p'(z_{i})}}=z_{i}-{\frac {z_{i}^{3}-1}{3\,z_{i}^{2}}}$

Масштабирование

Если переместить центр экрана в точку $z_{0}$и произвести масштабирование ($z=z_{0}+{\cfrac {Z}{\alpha }}$), то вместо подстановки $z$ в многочлен $P(z)$, можно изменить сам многочлен. Так как $z_{n+1}=F(z_{n})=>(z_{0}+{\cfrac {Z_{n+1}}{\alpha }})=F(z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }})$, а $F(z)=z-{\cfrac {p(z)}{p'(z)}}=>F(z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }})=z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }}-{\cfrac {p(z(Z))}{p'_{z}(z(Z))}}$, то $Z_{n+1}=Z_{n}+\alpha \cdot {\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{z}(z(Z_{n})}}$. Так как $p'_{Z}(z(Z))=p'_{z}(z(Z))\cdot z'_{Z}(Z)={\cfrac {p'_{z}(z(Z))}{\alpha }}$, то $p'_{z}(z(Z))=\alpha \cdot p'_{Z}(z(Z))$.

Тогда

$Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{Z}(z(Z_{n})}}$, считая новый многочлен $P(Z)=p(z(Z))$, получаем $Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {P(Z_{n})}{P'(Z_{n})}}$

Литература

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
4. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М.: Изд. АН СССР, 1945.
5. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
8. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
9. Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
10. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.
11. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
12. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
13. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
14. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
15. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
16. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
17. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
18. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.

Ссылки

• Красота фракталов
• Построение бассейнов Ньютона на MATLAB