Губка Менгера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
5 итераций
На 6-й итерации
Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение[править | править вики-текст]

Итеративный метод[править | править вики-текст]

Куб с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаос[править | править вики-текст]

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос[en][1][2], который заключается в следующем:

  1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
  2. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри куба.
  3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
    1. Выбирается случайный аттрактор из 20 возможных.
    2. Строится точка с новыми координатами: , где: — координаты предыдущей точки ; — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (обычно достаточно нескольких тысяч раз) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
    • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности любой точки множество связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона , в губке Менгера найдется подмножество , гомеоморфное .
  • Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.

В массовой культуре[править | править вики-текст]

Губка Менгера используется для охоты на призраков в фильме «Шёлк».

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Майкл Барнсли, Луиза Барнсли. Фрактальные трансформации // Фракталы как искусство. Сборник статей / Пер. в англ., фр. Е. В. Николаевой. — СПб.: Спарта, 2015. — С. 35. — 224 с. — ISBN 9785040137008.
  2. Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stochastic Models with Power-Law Tails: The Equation X = AX + B. — Springer, 2016-07-04. — 325 с. — P. 7. — ISBN 9783319296791.

Ссылки[править | править вики-текст]