Губка Менгера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
5 итераций
На 6-й итерации
Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение[править | править вики-текст]

Куб с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
    • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности любой точки множество связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона , в губке Менгера найдется подмножество , гомеоморфное .
  • Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.

См. также[править | править вики-текст]