Фрактал Ляпунова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) , в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности (), а синий — хаосу ().

Свойства[править | править вики-текст]

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра — в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале . Для бо́льших значений интервал уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова[править | править вики-текст]

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].
  1. Выбрать строку из символов A и B и C и D любой нетривиальной длины (например, AABABCCAADDCD).
  2. Построить последовательность последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
  3. Выбрать точку .
  4. Выбрать точку .
  5. Определить функцию .
  6. Принять и выполнить итерации .
  7. Вычислить экспоненту Ляпунова (англ.):
  8. Раскрасить точку согласно полученному значению .
  9. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.


На практике аппроксимируется подбором достаточно великого . Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

Ссылки[править | править вики-текст]