Кривая Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривые Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства[en] ).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякая кривая Пеано имеет кратные точки.
    • Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе). Такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).
  • Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.
  • С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая
    r(t)=(x(t),y(t),t)
где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя, поскольку не является непрерывной поверхностью.

Примеры[править | править вики-текст]

Аналитическое построение.[1] Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x_1 x_2 \ldots x_k (каждое из x_k равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0, f_1 f_2 \ldots f_k в троичной системе:


f_1 = x_1
f_2 = x_3, если x_2 четно, и 2 - x_3, если x_2 нечетно
 \ldots
f_k = x_{2k-1}, если x_2 + x_4 + \ldots + x_{2k-2} четно

f_k = 2 - x_{2k-1}, если x_2 +x_4 + \ldots +x_{2k-2} нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g_1 g_2 \ldots g_k \ldots в троичной системе счисления:

g_1 = x_2, если x_1 четно, и 2 - x_2, если x_1 нечетно
\ldots
g_k = x_{2k}, если x_1 + x_3 + \ldots +x_{2k-1} четно
g_k =2 - x_{2k}, если x_1 + x_3 + \ldots + x_{2k-1} нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x \mapsto [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (то есть в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x \mapsto [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]^2.

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

Геометрическое построение. Рассмотрим единичный отрезок и единичный квадрат. На 1-м шаге построения разделим квадрат средними линиями на 4 равных квадрата, а отрезок — на 4 равные части. Получим квадраты и отрезки 1-го уровня. На каждом последующем шаге делим квадраты и отрезки предыдущего уровня на 4 части — получаем квадратики и отрезочки следующего уровня. Имеем 4 квадратика 1-го уровня, 16 квадратиков 2-го уровня и т. д.; аналогично с отрезочками. Зададим порядок обхода квадратиков каждого уровня. Для 1-го, 2-го, …, 6-го уровня порядок обхода показан на рисунке. Порядок обхода определяет взаимно-однозначное соответствие между множеством квадратиков n-го уровня и множеством отрезочков n-го уровня.

Пусть теперь x — произвольная точка исходного единичного отрезка. Пусть k1 — номер отрезочка 1-го уровня, которому принадлежит точка x, k2 — номер отрезочка 2-го уровня, которому принадлежит точка x и т. д. Рассмотрим квадратики Q1, Q2, … с теми же номерами k1, k2, …. Порядок обхода квадратиков устроен таким образом, что (внимание!) квадратики Q1, Q2, … образуют вложенную систему. По теореме о вложенной (стягивающейся) системе отрезков, квадратики Q1, Q2, … имеют единственную общую точку y.

Если x принадлежит одновременно 2-м отрезочкам, то эти отрезочки соответствуют 2-м квадратикам с общей стороной — так устроен порядок обхода. Назовем такие квадратики смежными. В этом случае вместо квадратиков Q1, Q2, … рассмотрим прямоугольники — объединения смежных квадратиков. И тогда y — единственная общая точка вложенной системы указанных прямоугольников.

Аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка y квадрата будет соответствовать некоторой точке x единичного отрезка.

Построенное отображение x → y определяет искомую кривую Пеано. Непрерывность отображения следует из того, что близким отрезочкам соответствуют близкие квадратики. Каждая точка y имеет:

  • 1 прообраз x (если y не принадлежит границам двух несмежных квадратиков никакого уровня),
  • 2 прообраза (если y принадлежит границам не более двух несмежных квадратиков некоторого уровня),
  • 3 прообраза (если y принадлежит границам четырёх квадратиков некоторого уровня, одна пара которых — смежные) (пример такой точки - центр квадрата),
  • 4 прообраза (если y принадлежит границам четырёх попарно несмежных квадратиков некоторого уровня).

Кривые, задающие порядок обхода квадратов, являются последовательными приближениями к кривой Пеано. Кривая Пеано является пределом этих кривых.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

Если X — континуум, то эквивалентны условия:

  1. пространство X локально связно,
  2. X — непрерывный образ интервала.


История[править | править вики-текст]

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Литература[править | править вики-текст]

  • Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М., 1977.
  • Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного. — 2-е изд.. — М., 1948.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Идея почерпнута в книге: Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука, 1992. — С. 44.