Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем):

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

$AX=B$, где $A$ — основная матрица системы, $B$ и $X$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}},X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Умножим это матричное уравнение слева на $A^{-1}$ — матрицу, обратную к матрице $A$: $A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}B$

Так как $A^{-1}A=E$, получаем $X=A^{-1}B$. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$\det A\neq 0$.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор $B=0$, действительно обратное правило: система $AX=0$ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если $\det A=0$. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ

${\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases}}$

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

${\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;$

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;$

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;$

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;$

Далее найдём присоединённую матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

$C^{*}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}};$

$(C^{*})^{T}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}};$

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{*})^{T}$

Подставляя переменные в формулу, получаем:

$A^{-1}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}};$

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

$X=A^{-1}\cdot B;$

$X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}$

Итак, x = 2; y = 1; z = 4.