Альтернатива Фредгольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряженное (союзное) уравнение имеет нетривиальное решение[1]. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах[2].

Конечномерное пространство[править | править код]

Либо уравнение имеет решение при любой правой части , либо сопряжённое к нему уравнение имеет нетривиальное решение

Доказательство

Способ 1

Пусть . Возможны два случая: либо , либо . Условие равносильно условию , которое означает, что уравнение имеет решение при любом . При этом так как , то и уравнение не имеет ненулевого решения. Условие равносильно условию , которое означает существование ненулевого вектора , то есть ненулевого решения . При этом и уравнение имеет решение не для любого .

Способ 2

  1. Пусть система (1), то есть , имеет решение при любом . В этом случае , так как иначе при некотором оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как , то в этих условиях , то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
  2. Пусть теперь система при некотором несовместна. Следовательно , значит и , то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения:  — ранг матрицы ,  — размерность пространства ,  — образ оператора ,  — дефект оператора ,  — ядро оператора ,  — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора , действующего в одном пространстве , означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом , либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение[1].

Интегральные уравнения[править | править код]

Формулировки[править | править код]

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

с непрерывным ядром и союзного к нему уравнения

. Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в при любом свободном члене , то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в при любом свободном члене , причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене , то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)[3].

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции [4][5].

Идея доказательства[править | править код]

Вырожденное ядро[править | править код]

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

можно переписать в виде

где

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на и интегрирования по отрезку уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных :

где

.

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случая[6].

Произвольное непрерывное ядро[править | править код]

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

где  — вырожденное ядро (многочлен) и  — малое непрерывное ядро, . Тогда уравнение (1) принимает вид

где и  — интегральные операторы с ядрами и соответственно.

Введем неизвестную функцию по формуле

.

При функция однозначно выражается через по формуле

где  — единичный оператор,  — интегральный оператор с ядром  — резольвентой ядра . Тогда исходное уравнение принимает вид

где

— интегральный оператор с вырожденным ядром

аналитическим по в круге . Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случая[6].

Следствия[править | править код]

повторяя в этой последовательности столько раз, какова его кратность.

  • Если  — характеристическое число ядра , то  — характеристическое число ядра , причем они имеют одинаковую кратность.
  • Собственные функции и ядер и , отвечающие характеристическим числам и соответственно, причем , ортогональны: .

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

  • Если , то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
  • Если , то однородные уравнения

имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений — собственных функций ядра и собственных функций ядра .

[6]

Банахово пространство[править | править код]

Даны уравнения

где  — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве , а  — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве . Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

(соответственно )[7].

Применение к решению краевых задач для эллиптических уравнений[править | править код]

Метод Неймана решения задачи Дирихле

состоит в том, что решение ищется в виде

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь  — плоская область,  — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной,  — расстояние от точки до точки на контуре ,  — внутренняя нормаль к в точке . Функция должна удовлетворять интегральному уравнению

с непрерывным ядром

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение при любом выборе непрерывной функции , либо однородное уравнение

допускает ненулевое решение . Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях . Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи Неймана[8].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Конечномерное пространство[править | править код]

  • Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.

Интегральные уравнения[править | править код]

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
  • Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 128 с.
  • Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.

Банахово пространство[править | править код]