Произведение Кронекера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Swadim (обсуждение | вклад) Нет описания правки Метка: редактор вики-текста 2017 |
Bezik (обсуждение | вклад) отклонены последние 3 изменения (Swadim): ссылки случайные (копипаста из англовики), почему «также» — не объясено (это должно быть в тексте статьи) Метка: ручная отмена |
||
Строка 116: | Строка 116: | ||
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''. |
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''. |
||
{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}} |
|||
== См. также == |
|||
* [[Произведение Хатри-Рао]] |
|||
== Литература == |
|||
* {{citation | first1=Roger A. | last1=Horn |author1link=Roger Horn| first2=Charles R. | last2=Johnson |author2link=Charles R. Johnson |year=1991 | title=Topics in Matrix Analysis | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-46713-1 |url=https://books.google.com/?id=LeuNXB2bl5EC&printsec=frontcover&dq=isbn:9780521467131#v=onepage&q=%22Kronecker%20product%22&f=false}}. |
|||
*{{citation | first1=Anil K. | last1=Jain | year = 1989 | title=Fundamentals of Digital Image Processing | publisher= Prentice Hall | isbn=978-0-13-336165-0|url=https://books.google.com/?id=GANSAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780133361650&q=%22Kronecker+product%22| bibcode=1989fdip.book.....J }}. |
|||
* {{citation | first1=Willi-Hans | last=Steeb | year=1997 | title=Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs | publisher=World Scientific Publishing | isbn=978-981-02-3241-2 }} |
|||
* {{citation | first1=Willi-Hans | last=Steeb | year=2006 | title=Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus | publisher=World Scientific Publishing | isbn=978-981-256-916-5 |url=https://books.google.com/?id=CSDbVU1Eg3UC&printsec=frontcover&dq=isbn:9789812569165#v=onepage&q=%22Kronecker%20product%22&f=false}} |
|||
[[Категория:Матрицы]] |
[[Категория:Матрицы]] |
||
[[Категория:Бинарные операции]] |
Версия от 15:51, 1 августа 2020
Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Определение
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В развёрнутом виде
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
- .
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
- Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:
-
- где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
- Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование
Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:
Смешанное произведение
- Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
- A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
- Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера как
- Также справедливо
Спектр, след и определитель
- Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
- След и определитель произведения Кронекера равны
Сингулярное разложение и ранг
- Если матрица A имеет rA ненулевых сингулярных значений:
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
- Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |