Факторпространство по подпространству: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
KleverI (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
ViLco (обсуждение | вклад) |
||
Строка 26: | Строка 26: | ||
* Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая [полунорма|полунормой] <math>p\colon\forall w\in X/X_0\quad p_{X/X_0}(w)=\inf p(\varphi^{-1}(w))</math>. |
* Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая [полунорма|полунормой] <math>p\colon\forall w\in X/X_0\quad p_{X/X_0}(w)=\inf p(\varphi^{-1}(w))</math>. |
||
<!-- за поправки спасибо, только единственное что восклицательный знак _после_ значка существования означает единственность, а до - отрицание, так что думаю он был по существу --> |
|||
== Сопутствующие теоремы == |
== Сопутствующие теоремы == |
||
* Существование снижения на кообраз: |
* Существование снижения на кообраз: |
||
: <math>\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\ |
: <math>\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T=\{0\}.</math> |
||
* Теоремы об [[изоморфизм]]ах: |
* Теоремы об [[изоморфизм]]ах: |
||
: <math>\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T,\quad\mathrm{coker}\,T\simeq\ker T.</math> |
: <math>\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T,\quad\mathrm{coker}\,T\simeq\ker T.</math> |
Версия от 08:37, 27 декабря 2009
Факторпространство по подпространству — важный частный случай факторпространств.
Определение
Пусть — векторное пространство, а — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как
Тогда называют факторпространством по и обозначают .
Факторотображение
Отображение , сопоставляющее каждому элементу из класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.
Факторотображение даёт возможность определить на векторную структуру, задав операции следующим образом:
Факторотображение на таком пространстве линейно.
Свойства факторотображения:
- , то есть — эпиморфизм;
- , что эквивалентно .
Связанные определения
Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:
- кообраз линейного отображения ;
- кoядро линейного отображения , при условии что .
- коразмерность ;
- Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая [полунорма|полунормой] .
Сопутствующие теоремы
- Существование снижения на кообраз:
- Теоремы об изоморфизмах:
- Теорема о непрерывности факторотображения:
- — хаусдорфово .
- Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет определить на нём норму, а по норме и метрику.
- Признак полноты — полны — полно.
- — гиперплоскость .
- Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:
Комментарии
См. также
- Факторпространство
- Линейное отображение
- Векторное пространство
- Коразмерность
- Непрерывное отображение
- Непрерывное отображение
- Замкнутое множество
- Ядро линейного отображения
- Образ отображения
Литература
- Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..