Ориентация

Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.

Конечномерное векторное пространство

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

Замечания

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ комплексный репер $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ определяет вещественный репер $e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}$ в том же пространстве, рассматриваемом как $\mathbb {R} ^{2n}$, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в $\mathbb {R} ^{2n}$).

Вариации и обобщения

Аффинное пространство

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве $A$ системы координат состоят из точки (начала $O$) и репера $\{e_{i}\}$, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра $t\in [0,1]$ семейство координатных систем $O(t)$, $\{e_{i}(t)\}$, связывающее данные системы $O$, $\{e_{i}\}$ и $O'$, $\{e'_{i}\}$.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин $n$-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая $(n-1)$-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Многообразия

В связном многообразии $M$ системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих $M$. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны $+1$, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие $M$ называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если $M$ имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий $M$, первый вектор которого направлен из $M$, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контур

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии $M$, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы $\pi _{1}(M)$ на $\mathbb {Z} _{2}$ с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути $q:[0,1]\to M$ можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке $q(0)$ определяет ориентацию в точке $q(1)$, и эта связь зависит от пути $q$ лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если $q$ — петля, то есть $q(0)=q(1)=x_{0}$, то $q$ называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы $\pi _{1}(M,x_{0})$ в группу порядка $2$: дезориентирующие петли переходят в $-1$, а остальные в $+1$. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над $M$ одномерное расслоение, тривиальное, если и только если $M$ ориентируемо. Для дифференцируемого $M$ оно может быть определено как расслоение $\Omega ^{n}(M)$ дифференциальных форм порядка $n=\operatorname {dim} M$. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на $M$ и одновременно ориентацию.

На языке гомологий

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий $H^{n}(M,\mathbb {Z} )$ (с замкнутыми носителями) изоморфна $\mathbb {Z}$, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для $H^{n}(M,\partial M,\mathbb {Z} )$. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары $(M,\partial M)$. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе $H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb {Z} )$, изоморфной $\mathbb {Z}$ Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Псевдомногообразия

Триангулированное многообразие $M$ (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все $n$-мерные симплексы так, что два симплекса с общей $(n-1)$-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка $n$-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую $(n-1)$-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения

Пусть над пространством $B$ задано расслоение $p:E\to B$ со стандартным слоем $F$. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путем в $B$ однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. также

• Преобладающая рука
• Хиральность
• Фундаментальный класс