Линейное отображение

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции $y=kx$) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Лине́йным отображе́нием векторного пространства $L_{K}$ над полем $K$ в векторное пространство $M_{K}$ (лине́йным опера́тором из $L_{K}$ в $M_{K}$) над тем же полем $K$ называется отображение

$f\colon L_{K}\to M_{K}$,

удовлетворяющее условию линейности

$f(x+y)=f(x)+f(y)$,

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$.

для всех $x,y\in L_{K}$ и $\alpha \in K$.

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля $K$ как

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in L_{K}$
• $(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in L_{K},\forall k\in K$

множество всех линейных отображений из $L_{K}$ в $M_{K}$ превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как ${\mathcal {L}}(L_{K},M_{K})$

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства $L_{K}$ и $M_{K}$ являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что $\forall x\in L_{K},\|Ax\|_{M_{K}}\leqslant N\|x\|_{L_{K}}$. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

$\|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}.$

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство $M_{K}$ - банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Оператор $A^{-1}$ называется обратным линейному оператору $A$, если выполняется соотношение: $A^{-1}A=AA^{-1}=1$

Оператор $A^{-1}$, обратный линейному оператору $A$, также является линейным непрерывным оператором. В случае если линейный оператор действует из банахового пространства в другое банахово пространство, то по теореме Банаха обратный оператор существует.

Матрица линейного оператора

Пусть линейный оператор $A$ действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {$e_{n}$} как $x=\sum _{k}\alpha _{k}e_{k}$, причем из ортнонормированности базиса следует, что $\alpha _{k}=(x,e_{k})$. Тогда вектор $y=Ax$ можно разложить в том же базисе с коэффициентами $\beta _{k}=(Ax,e_{k})=\sum _{i}(Ae_{i},e_{k})\alpha _{i}=\sum _{i}a_{ij}\alpha _{i}$, где $a_{ij}=(Ae_{i},e_{k})$. Таким образом, в координатном представлении $\beta =A\alpha$, где $\alpha$ - координатное представление вектора $x$, а $\beta$-координатное представление вектора $y$, соответственно $A=$ {$a_{ij}$}-матрица оператора в данном базисе.

Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.

Важные частные случаи

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого $M=K$:
      $f\colon L_{K}\to K$
• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого $L=M$:
      $f\colon L_{K}\to L_{K}$
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор $x\mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент $L_{K}$ в нулевой элемент $M_{K}$.
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому $x$ его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору $A\in L(V)$ — оператор $A^{*}$ на $V^{*}$, заданный соотношением $(A^{*}f,x):=(f,Ax)$.
• Самосопряженный — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов или симметрический — такой оператор $A$, что $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех пар $x,y$ из области определения $A$. Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение $(Ax,Ay)=(x,y)$, в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором $A^{-1}=A^{*}$; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
• Положительно определённый оператор. Пусть $L_{K},\ M_{K}$ — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если $\forall x\in X,(Ax,x)>0$.

Связанные понятия

• Образом подмножества $M\subset L_{K}$ относительно линейного отображения A называется множество $AM=\{Ax:x\in M\}$.
• Ядром линейного отображения $f\colon A\to B$ называется подмножество $A$, которое отображается в нуль:

  ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in A\mid f(x)=0\}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $A$.

• Образом линейного отображения $f$ называется следующее подмножество $B$:

  ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in B\mid x\in A\}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $B$.

• Отображение $f\colon A\times B\to C$ прямого произведения линейных пространств $A$ и $B$ в линейное пространство $C$ называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

• Оператор ${\tilde {L}}$ называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид

  ${\tilde {L}}=L+v$

где $L$ — линейный оператор, а $v$ — вектор.

• Пусть $A:L_{K}\to L_{K}$. Подпространство $M\subset L_{K}$ называется инвариантным относительно линейного отображения, если $\forall x\in M,Ax\in M$.

Критерий инвариантности. Пусть $M\subset X$ — подпространство,такое что $X$ разлагается в прямую сумму: $X=M\oplus N$. Тогда $M$ инвариантно относительно линейного отображения $A$ тогда и только тогда, когда $P_{M}AP_{M}=AP_{M}$, где $P_{M}$ - проектор на подпространство $M$.

• Фактор-операторы. Пусть $A:L_{K}\to L_{K}$ — линейный оператор и пусть $M$ — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство $L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }}$ по подпространству $M$. Тогда фактор-оператором называется оператор $A^{+}$ действующий на $L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }}$ по правилу: $\forall x^{+}\in L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]$, где $[Ax]$ — класс из фактор-пространства, содержащий $Ax$.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}$;
• оператор интегрирования: $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$;
• оператор умножения на определённую функцию $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$;
• оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
• оператор взятия значения функции $f$ в конкретной точке $x_{0}$: $L\{f\}=f(x_{0})$;
• оператор умножения вектора на матрицу: $b=Ax$;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• $y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$;
• $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)$;
• $y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$;

где $\varphi (t)$, $\varphi _{1}(t)$, $\varphi _{2}(t)$ — вполне определённые функции, а $x(t)$ — преобразуемая оператором функция.

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал