Тригонометрическое число

В математике тригонометрическое число (англ. trigonometric number) — иррациональное число, полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи, или синус или косинус рационального числа градусов.

Вещественное число, отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы.

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен, впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков.

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы. Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом. Последнее утверждение можно доказать, взяв за основу формулу Муавра для случая $\theta =2\pi k/n$ для взаимно простых k и n:

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=1.$

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в $\cos \theta$ и $\sin ^{2}\theta ;$ подставляя $\sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta$, получаем уравнение полинома, имеющее $\cos \theta$ своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также $\sin \theta$ является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу $\cos(\theta -\pi /2).$ Наконец, $\tan \theta$, где $\theta$ является рациональным, кратным $\pi$, является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на $\cos ^{n}\theta$ для получения полиномиального уравнения в $\tan \theta .$