Уравнение Гамильтона — Якоби

Для термина «Гамильтон» см. также другие значения.

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

$H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Здесь $S$ обозначает классическое действие, $H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ — классический гамильтониан, $q_{i}$ — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, оно представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы $s$, в отличие от $2s$ уравнений Гамильтона и $s$ уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции $S(q,p',t)$ (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для $H(q,p,t)$ и $H'(q',p',t)$ при следующем преобразовании:

${\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H'=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}.$

Новые уравнения движения становятся

${\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt}},\quad {\frac {\partial H'}{\partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.$

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции $S(q,p',t)$, которая делает $H'(q',p',t)$ тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

${\frac {dp'}{dt}}={\frac {dq'}{dt}}=0.$

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции $S$ достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

$H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Поскольку $p=\partial S/\partial q,$ можно записать

$H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0,$

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о $q_{1}$) и соответствующий ей импульс ${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}$ входят в уравнение в форме

${\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.$

Тогда можно положить

$f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right)=\alpha _{1},$

${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),$

где $\alpha _{1}$ — произвольная постоянная, $g_{1}$ — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

$S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,$

где $\alpha _{i}$ — произвольные постоянные, $k$ — константа интегрирования. Напомним, что при этом $S$ является функцией конечной точки $(q_{1},\dots ,q_{n})$. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

$\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},t).$

Совместно с уравнениями для импульсов это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с $s$ степенями свободы кинетическая энергия имеет вид $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ и потенциальная энергия имеет вид $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ где $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$ то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби.

См. также

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение
• Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
• Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Литература

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание — М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
• Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.