Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство
.
Пусть
и
— случайные величины, такие, что случайный вектор
имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности
. Пусть
такой, что
. Тогда функция
,
где
— функция вероятности случайной величины
, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины
при условии, что
. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
Пусть
и
— случайные величины, такие что случайный вектор
имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности
. Пусть
таково, что
, где
— плотность случайной величины
. Тогда функция
![{\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da0bc1daba67e8690cc61f2ace5ae7919a94072)
называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины
при условии, что
. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
- Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
,
,
и
почти всюду на
,
,
,
.
- Если случайные величины
и
независимы, то условное распределение равно безусловному:
![{\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec714089bae7541c36649271a2d4791a8280388e)
или
почти всюду на
.
Если
— счётное подмножество
, то
.
Если
— борелевское подмножество
, то полагаем по определению
.
Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как
.
- Условное математическое ожидание случайной величины
при условии
получается суммированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание
при условии случайной величины
— это третья случайная величина
, задаваемая равенством
.
- Условное математическое ожидание случайной величины
при условии
получается интегрированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание
при условии случайной величины
— это третья случайная величина
, задаваемая равенством
.