Фонон

Фонон
Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле она существенно меньше межатомного расстояния.
Состав	квазичастица
Классификация	акустические фононы, оптические фононы
Семья	бозон
Группа	квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована	И. Е. Тамм в 1930 году
Медиафайлы на Викискладе

Фоно́н — квазичастица, квант энер­гии со­гла­со­ван­но­го ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния атомов твёр­до­го те­ла, об­ра­зую­щих иде­аль­ную кри­стал­лическую ре­шёт­ку.

Ха­рак­те­ри­зу­ет­ся вол­но­вым век­то­ром ${\vec {k}}$ и энер­ги­ей $\hbar \omega$ ($\omega$ — час­то­та ко­ле­ба­ний, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка). Каждый кристаллический материал обладает своим набором возможных в нём зависимостей $\hbar \omega ({\vec {k}})$.

Модельное представление колебаний решётки как совокупности фононов оказывается удобным при анализе взаимодействия электронов, световых квантов и других частиц, доля импульса которых может быть передана решётке.

Понятие «акустических квантов» было введено в теорию твёрдого тела советским учёным И. Е. Таммом. Современное название было предложено Я. И. Френкелем.

Модель фононного газа для упругих волн

Согласно концепции корпускулярно-волнового дуализма, любой объект может восприниматься и как волна, и как частица (квазичастица). Например, свет может трактоваться как совокупность электромагнитных волн или как поток фотонов, движущихся (в случае вакуума) со скоростью $c$. Амплитуда волн и плотность потока соответствуют друг другу таким образом, чтобы обеспечилась одинаковость спектральной плотности мощности в обеих трактовках. В квантовой механике, концепция дуализма используется для элементарных частиц, включая электроны.

Аналогичным образом упругие волны (в узком смысле слова — звук) могут восприниматься как поток квазичастиц, носящих название фононов. Соответственно, со­стоя­ние кри­стал­лической ре­шёт­ки может рассматриваться как газ фо­нон­ных ква­зи­ча­стиц (подобно более привычным электронному или фотонному газам).

Некоторые характеристики и свойства фононов

Основные параметры фонона

Фонон представляет собой квант энер­гии со­гла­со­ван­но­го ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния ато­мов твёр­до­го те­ла.

На уровне «одной штуки» в иде­аль­ной кри­стал­лической ре­шёт­ке он ха­рак­те­ри­зу­ет­ся вол­но­вым век­то­ром ${\vec {k}}$ (в одномерном случае $k$), частотой $\omega$ и поляризацией (направлением смещения атомов). Вместо $k$ и $\omega$ нередко используются ква­зи­им­пуль­с $\hbar k$ и энергия кванта $\hbar \omega$, где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка. Типичные энергии фонона составляют от нуля до десятков мэВ.

При наличии неидеальностей решётки, вводится ещё «длина свободного пробега» (средняя длина движения фонона до акта рассеяния).

Дисперсионные соотношения

Важнейшей характеристикой конкретного материала является соотношение между частотой фонона и волновым вектором фонона в этом материале:

$\omega =\omega (k)$.

Оно носит название дисперсионного соотношения, причём для одного материала может существовать несколько «ветвей» таких соотношений. Иногда используется вид $[\hbar \omega ]=[\hbar \omega ](k)$.

Располагая дисперсионным соотношением, можно вычислить фазовую и групповую скорости соответствующих элементарных возбуждений как $V_{p}=\omega /k$ и $V_{g}=d\omega /dk$ для каждой ветви.

Описание фононного газа

На уровне совокупности фононов дополнительными характеристиками выступают плотность состояний фононов $d\nu /d[\hbar \omega ]dV$ [ Дж^-1м^-3] и числа заполнения $f([\hbar \omega ])$ в зависимости от энергии фонона. Фонон является ква­зи­ча­сти­цей бо­зев­ско­го ти­па, и при тепловом равновесии c температурой $T$ числа заполнения диктуются статистикой Бозе—Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом:

$f([\hbar \omega ])=\left[\exp {\frac {[\hbar \omega ]}{k_{B}T}}-1\right]^{-1}$

($k_{B}$ — постоянная Больцмана). При высоких температурах она превращается в статистику Больцмана. Интеграл $\int d\nu /d[\hbar \omega ]dV\cdot f([\hbar \omega ])d[\hbar \omega ]$ задаёт общее число фононов [штук/м³].

Характеристики фонона во многом аналогичны характеристикам фотонов и электронов (но последние являются фермионами, и $f([\hbar \omega ])$ для них подчиняется статистике Ферми—Дирака).

Нахождение законов дисперсии для фононов

Для получения законов дисперсии фононов в конкретной упругой среде она моделируется как набор гармонически взаимодействующих осцилляторов. Считается, что конкретный атом взаимодействует только со своими соседями. В качестве простейших примеров обычно рассматриваются колебания прямолинейных цепочек и принимается, что атомы колеблются параллельно цепочке.

При анализе поведения цепочки одинаковых атомов массой $m$ с равновесными расстояниями между соседними атомами $a$ получается

колебания в цепочке одинаковых атомов: подробности

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы $m$, равновесные положения которых определяются вектором решётки:

$\mathbf {n} =n\mathbf {a} ,$

где $n=1,2,...,N$. Пусть $\xi _{n}$ — одно из таких смещений атома, занимающего узел $n$. В потенциальной энергии $U$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия:

$U={\frac {1}{2}}\beta \sum _{n=1}^{N}(\xi _{n}-\xi _{n-1})^{2}.$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений ${\dot {\xi }}_{n}$ с помощью функции:

$K={\frac {1}{2}}m\sum _{n=1}^{N}{\dot {\xi }}_{n}^{2}$.

Введём циклические условия:

$\xi _{n}=\xi _{n+Na}$.

Одномерной решётке соответствует зона Бриллюэна в $\mathbf {k}$-пространстве с границами:

$-\pi \leq \mathbf {k} \mathbf {a} <\pi$.

Внутри этой зоны располагаются $N$ неэквивалентных волновых векторов:

$\mathbf {k} ={\frac {2\pi \mu }{Na^{2}}}\mathbf {a} ,$

где $\mu =0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {\frac {N}{2}}$. От смещений отдельных атомов $\xi _{n}$ удобно перейти к новым обобщённым координатам $A_{k}$, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям $\mathbf {k}$. Для этого введём преобразование:

$\xi _{n}=N^{-1/2}\sum _{k=1}A_{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {n} ).$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

$A_{k}=A_{-k}^{*}$.

Таким образом, потенциальная

$U={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}\omega ^{2}(\mathbf {k} )A_{k}A_{-k}$

и кинетическая энергия

$K={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}{\dot {A}}_{k}{\dot {A}}_{-k}$,

где

$m\omega ^{2}(\mathbf {k} )=m\omega ^{2}(\mathbf {-k} )=4\beta \sin ^{2}{\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Опуская векторные обозначения, имеем

$\omega (k)=\omega (-k)=2{\sqrt {\frac {\beta }{m}}}\left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|$.

следующее соотношение между частотой и волновым вектором:

$\omega (k)=2{\sqrt {\frac {\beta }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|$,

где $\beta$ (кг/с²) —- жёсткость условной «пружины», соединяющей атомы.

Аналогичный анализ цепочки атомов двух чередующихся типов массами $m_{1}$ и $m_{2}$ приводит к результату:

$\omega (k)=\left[{\frac {\beta (m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4m_{1}\cdot m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {ka}{2}}\right)}}\,\right)\right]^{1/2}$.

В отличие от случая одинаковых атомов, здесь наличествуют две ветви, определяемые выбором знака.

Максимальное возможное абсолютное значение волнового вектора диктуется обращением синуса в единицу, то есть математическим условием $|k|_{max}=\pi /a$. Диапазон волновых векторов $-\pi /a<k<\pi /a$ носит название «зона Бриллюэна».

Акустические и оптические фононные ветви

Акустические фононы

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке атомов

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным дисперсионным соотношением и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решётки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трёхмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов:

$\omega _{i}=v_{i}k\quad$ (acoustic, $|k|\ll |k|_{max}$),

где $\omega _{i}$ — частота колебаний, а коэффициенты $v_{i}$ суть скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука.

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов (пример — упоминавшаяся в предыдущем разделе цепочка чередующихся двух разнотипных атомов). Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остаётся неподвижным.

Энергия оптических фононов зависит от волнового вектора слабо:

$\omega _{i}\approx {\rm {const}}(k)\quad$ (optical);

она заметно выше энергии акустических фононов.

Общее число ветвей

В трёхмерном твёр­дом кристаллическом материале, со­дер­жа­щем $S$ ато­мов в эле­мен­тар­ной ячей­ке, реа­ли­зу­ет­ся $3S$ различных законов дисперсии для колебаний ре­шёт­ки. Со­от­вет­ст­вен­но это­му го­во­рят о $3S$ фононных ветвях («модах»).

Из них име­ет­ся од­на ветвь про­доль­ных (то есть таких, в которых направление колебаний атомов параллельно направлению ${\vec {k}}$) аку­стических фононов и две вет­ви по­пе­реч­ных аку­стических фононов (когда смещение атомов происходит в плоскости перпендикулярной ${\vec {k}}$), а также $S-1$ вет­вей про­доль­ных оп­тических фононов и $2(S-1)$ вет­вей по­пе­реч­ных оп­тических фононов. При изотропии в упомянутой плоскости, поперечных мод будет вдвое меньше, но каждая окажется двукратно вырожденной.

В упрощённом случае одномерных цепочек имеют место только продольные колебания (иначе нет одномерности) и наличествует $S$ мод: одна акустическая и $S-1$ оптических (пример для $S=2$ дан выше).

Преимущества использования концепции фонона

Концепция фонона очень полезна в физике твёрдого тела.

В кристаллических материалах рассмотрение колебаний отдельных атомов затруднительно — получились бы огромные системы связанных между собой дифференциальных уравнений, решение которых неосуществимо на практике. Поэтому анализ колебаний атомов заменяется изучением распространения в веществе звуковых волн, квантами которых и являются фононы.

Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твёрдых телах. Совместно с электронами фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры $T$: при абсолютном нуле число фононов равно нулю, а при повышении температуры оно возрастает пропорционально $T^{3}$. Взаи­мо­дей­ст­вие фононов друг с дру­гом и с другими (ква­зи­)ча­сти­ца­ми твёр­до­го те­ла оп­ре­де­ля­ет про­цес­сы ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния фононов. Такие явления ответственны за кинетику движения электронов в твердотельных приборах.

Концепция фонона успешно используется при анализе переходов электронов в твёрдых телах, в частности в полупроводниках. Для частиц каждого из типов — электронов, фотонов, фононов — существует набор законов дисперсии в конкретном веществе. При любых переходах должны выполняться законы сохранения энергии и квазиимпульса, что позволяет ответить на вопрос, какие переходы возможны, а какие нет. Ро­ж­де­ние фонона при пе­ре­хо­де ато­мов и мо­ле­кул твёр­до­го те­ла из воз­бу­ж­дён­но­го в основное со­стоя­ние оп­ре­де­ля­ет бе­зыз­лу­ча­тель­ную и излучательную элек­трон­ную ре­лак­са­цию, обес­пе­чи­вая пе­ре­да­чу энер­гии в фо­нон­ную под­сис­те­му.

Литература

• Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
• Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М., 1976. — 636 с.
• Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures : [англ.]. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — С. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
• Каганов М. И. «Квазичастица». Что это такое?. — М.: Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.