Индуктивный предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индуктивный (или прямой) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект X по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов X_i и набору отображений f_{ij}:X_i\to X_j, i\leqslant j. Для индуктивного предела обычно используется обозначение

X=\varinjlim X_i.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраические объекты[править | править вики-текст]

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть I — направленное множество с отношением предпорядка \leqslant и пусть каждому элементу i\in I сопоставлен алгебраический объект X_i, а каждой паре (i,\;j), i,\;j\in I, в которой i\leqslant j, сопоставлен гомоморфизм f_{ij}:X_i\to X_j, причём f_{ii} — тождественные отображения для любого i\in I и f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} для любых i\leqslant j\leqslant k из I. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы (X_i, f_{ij}) — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей X_i по отношению эквивалентности:

\varinjlim X_i = \bigsqcup_i X_i\bigg/\sim.

Здесь x_i\in X_i и x_j\in X_j эквивалентны, если существует такое k\in I, что f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, если и только если они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть x_i\sim\, f_{ik}(x_i).

Из этого опредления легко получить канонические морфизмы \phi_i: X_i\rightarrow X, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на X\, можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории[править | править вики-текст]

DirectLimit-01.png

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы (X_i, f_{ij}) — это объект X категории, такой что выполняются следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений \phi_i:X_i\to X, что \phi_i=\phi_j\circ f_{ij} для любых i\leqslant j;
  2. для любого семейства отображений \psi_i:X_i\to Y, в произвольное множества Y, для которого выполнены равенства \psi_i=\psi_j\circ f_{ij} для любых i\leqslant j, существует единственное отображение u:X\to Y, что \psi_i=u\circ \phi_i, для всех i\in I.

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры[править | править вики-текст]

  • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
  • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p).
  • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
  • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии[en] соответствующему множеству-носителю.

Литература[править | править вики-текст]