Касательное пространство Зарисского

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

$F(x,y)=0.$

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

$ax+by=0.$

Возможны два случая: либо $a=b=0$, в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение

Кокасательное пространство локального кольца $R$ с максимальным идеалом m определяется как

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

где m² — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов $k=R/{\mathfrak {m}}$. Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R.

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, $R$ — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m² соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство $T_{P}(X)$ и кокасательное пространство $T_{P}^{*}(X)$ к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца ${\mathcal {O}}_{X,P}$. Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации $f:R\rightarrow R/I$ индуцирует гомоморфизм $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$, где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения $T_{P}(Y)$ в $T_{f^{-1}P}(X)$ (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)$

$\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).$

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ инъективно (является вложением).

Аналитический случай

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо F_n/I, где F_n — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

${\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),$

где ${\mathfrak {m}}_{x}$ — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, $I=(f)$, а $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Свойства

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

$\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.$

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел $k[t]/(t^{2}).$ На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t² в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x. Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Ссылки

• Zariski tangent space. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.