Касательное пространство Зарисского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

F(x,y)=0.

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

ax+by=0.

Возможны два случая: либо a=b=0, в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение[править | править вики-текст]

Кокасательное пространство локального кольца R с максимальным идеалом m определяется как

\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2

где m2 — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов k=R/\mathfrak m. Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R.[1]

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, R — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m2 соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство T_P(X) и кокасательное пространство T_P^*(X) к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца \mathcal{O}_{X,P}. Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации f:R\rightarrow R/I индуцирует гомоморфизм g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}, где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения T_P(Y) в T_{f^{-1}P}(X)[2] (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2
\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)
\cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)
\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X) инъективно (является вложением).

Аналитический случай[править | править вики-текст]

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо Fn/I, где Fn — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

\mathfrak m_x/(I+\mathfrak m_x^2),

где \mathfrak m_x — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, I=(f), а (I+\mathfrak m_x^2)=(ax+by+\mathfrak m_x^2).

Свойства[править | править вики-текст]

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

\mathrm{dim}\; \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \geqslant \mathrm{dim}\; R.

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел k[t]/(t^2). На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t2 в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x.[3] Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Eisenbud 1998, I.2.2, pg. 26
  2. Smoothness and the Zariski Tangent Space, James McKernan, 18.726 Spring 2011 Lecture 5
  3. Hartshorne 1977, Exercise II 2.8

Литература[править | править вики-текст]

  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.

Ссылки[править | править вики-текст]