Коуравнитель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.

Определение[править | править вики-текст]

Коуравнитель — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов — X и Y, и двух параллельных морфизмов f, g : XY.

Более явно, коуравнитель — это объект Q вместе с морфизмом q : YQ, таким что qf = qg. Более того, пара (Q, q) обладает универсальным свойством: для любой другой пары (Q′, q′) с тем же свойством существует единственный морфизм u : QQ, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Свойство коуравнителя.png

Как и любые универсальные конструкции, коуравнитель, если существует, определен с точностью до изоморфизма. Можно показать, что коуравнитель q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В категории множеств коуравнитель двух функций f, g : XY — это фактор Y по наиболее слабому отношению эквивалентности ~\sim, такому что для любого x\in X, верно f(x)\sim g(x).
  • Коуравнители могут быть довольно большими: существует ровно два функтора из категории 1 с одним объектом и одним морфизмом, в категорию 2 с двумя объектами и ровно одним нетождественным морфизмом. Коуравнитель этих функторов — моноид натуральных чисел по сложению, рассматриваемый как категория из одного элемента. Это показывает, что хотя каждый коуравнитель эпиморфен, он не обязательно сюръективен.

Литература[править | править вики-текст]

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.