Топологическая группа

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Топологическая группа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в используемой топологии.

Из приведённого определения непосредственно следует, что операции левого и правого сдвига, а также операция сопряжения, традиционно обозначаемые l, r и a и определяемые равенствами

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

представляют собой гомеоморфизмы пространства G на себя.

Изоморфизм топологической группы G на топологическую группу H — это биективное отображение группы G на H, которое одновременно является изоморфизмом структуры группы в G на структуру группы в H и гомеоморфизмом G на H.

Топологическая группа обобщает понятие группы Ли, для которого требуется, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (при этом на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многобразия).

См. также

• Локальная топологическая группа
• Мера Хаара
• Группа Ли

Ссылки

• Topological group (англ.)

Литература

• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. 3-е изд. М.: Наука, 1973.
• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
• Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969. 392 с.
• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1986. 780 с.
• George McCarty. Topology: An Introduction with Application to Topological Groups. Dover, 1988. ISBN 0-486-65633-0.