Магнитная гидродинамика

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Магнитная гидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости (газа) в магнитном поле. Примерами таких сред являются: различного рода плазма, жидкие металлы, солёная вода.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен, удостоившийся за эти работы Нобелевской премии в 1970 году. Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование Гартманом в 1937 году сопротивления течения ртути в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] + \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Здесь $\ p$ — давление в среде, $\ \rho$ — плотность, $\sigma$ — проводимость жидкости, $\eta$ — сдвиговая вязкость, $\zeta$ — вторая вязкость (объемная вязкость) а $\vec v$ — поле скоростей её элементов. $\vec H$ — напряжённость магнитного поля.

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных $\ p, \rho, \vec H, \vec v$ при наличии заданных начальных и граничных условий.

Если воспользоваться следующими приближениями (бездиссипативный предел):

1. $\sigma \to \infty$
2. $\eta = 0 ,\quad \zeta =0$

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Вывод уравнений

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики  

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС.

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \nabla \cdot \vec H = 0\\ \nabla \cdot \vec E = 0 \end{cases}$

Будем исходить из следующих предположений:

1. Магнитная проницаемость $\mu=1$
2. Нет электрических зарядов $\rho = 0$
3. Закон Ома имеет вид: $\vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H$

Ограничимся нерелятивистским случаем ($v \ll c$), т.е $\left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \vec E \right|$

Обоснование нерелятивистского приближения.  

Покажем, что $v \ll c$ эквивалентно $\left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right|$

$\left| \nabla \times \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \nabla \times \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right| = \frac{1}{c^2} \left| \frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2} \right|$

Оценим это выражение:

$\frac{H}{L^2} \gg \frac{1}{c^2}\frac{H}{\tau^2}$

L — характерная длина

$\tau$ — характерное время

Это приводит нас к следующем соотношению:

$c^2 \gg \frac{L^2}{\tau^2} = v^2$

$v \ll c$

Т.е. характерная скорость в системе должна быть много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \end{cases}$

Выразив из закона Ома $\vec E$ и подставим его в первое уравнение:

$- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)$

Подставим в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла и получим:

$- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]$

В пределе идеальной проводящей жидкости $\sigma \to \infty$ получаем:

$\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]$

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряженность магнитного поля):

$\vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right]$

Приложения

Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:

• МГД-насос
• Магнитогидродинамическая обработка
• МГД-генератор

См. также

• Альфвеновские волны
• Динамо-эффект
• Электрогидродинамика
• Электровихревое течение
• Электродинамика сплошных сред

Литература

• Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4

Ссылки

• Магнитная гидродинамика в энциклопедии Кругосвет.
• Сайт журнала Института физики университета Латвии «Magnetohydrodynamics» (бывший журнал «Магнитная гидродинамика»).