Магнитостатика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Магнитоста́тика  — раздел классической электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных токов посредством создаваемого ими постоянного магнитного поля и способы расчета магнитного поля в этом случае. Под случаем магнитостатики или приближением магнитостатики понимают выполнение этих условий (постоянства токов и полей — или достаточно медленное их изменение со временем), чтобы можно было пользоваться методами магнитостатики в качестве практически точных или хотя бы приближенных. Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой частный случай (или приближение) классической электродинамики; их можно использовать совместно и независимо (расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей — в отличие от общего электродинамического случая).

Основные уравнения[править | править исходный текст]

Все основные уравнения магнитостатики линейны[1] (как и классической электродинамики вообще, частным случаем которой магнитостатика является). Это подразумевает важную роль в магнитостатике (тоже как и во всей электродинамике) принципа суперпозиции.

  • Принцип суперпозиции для магнитостатики может быть сформулирован так: Магнитное поле, создаваемое несколькими токами, есть векторная сумма полей, которые бы создавались каждым из этих токов по отдельности.

Этот принцип одинаково формулируется и в принципе одинаково используется для вектора магнитной индукции и для векторного потенциала и применяется при расчетах повсеместно. Особенно очевидным и прямым образом это проявляется, когда при применении закона Био — Савара (см. ниже) для расчета магнитного поля \vec{B} производится суммирование (интегрирование) бесконечно малых вкладов d\vec{B}, создаваемых каждым бесконечно малым элементом тока, текущих в разных точках пространства (точно так же и при применении варианта этого закона для векторного потенциала).

Основные уравнения, используемые в магнитостатике[2]:

(уравнения выше записаны в гауссовой системе единиц); в других системах единиц эти формулы отличаются только постоянными коэффициентами, например:

Здесь \vec{B} — вектор магнитной индукции, I — сила тока в проводнике (а в теореме о циркуляции — суммарный ток через поверхность), \vec{dl} — элемент проводника (в теореме о циркуляции — элемент контура интегрирования), \vec{r} — радиус-вектор, проведённый из элемента тока в точку, в которой определяется магнитное поле, \vec{j} — плотность тока, q, \vec{v} — величина заряда и скорость заряженной частицы.

  • Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, делающим аналогию магнитостатики с электростатикой более детальной и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля (например, магнитом или катушкой), так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Уравнения магнитостатики в среде[править | править исходный текст]

Уравнения «для вакуума», приведенные в начале статьи, являются наиболее фундаментальными и простыми (в принципе) уравнениями магнитостатики.

Однако если речь идет о вычислении магнитного поля в среде магнетика, более удобными для практических вычислений, а до некоторой степени и в теоретическом плане, являются менее фундаментальные, однако хорошо приспособленные к этой ситуации, так называемые уравнения для среды (или в среде).

  • Говоря о терминологии, следует заметить, что термины уравнения для вакуума и уравнения для среды можно считать в заметной мере условными[3], однако эта терминология имеет довольно ясное оправдание (см. предыдущее примечание); кроме того, она достаточно устоявшаяся и поэтому не приводит к путанице.

Итак, уравнения для среды используются в магнитостатике для того, чтобы исследовать магнитное поле в случае, когда всё пространство или некоторые его области заполнено магнитной средой (магнетиками). Подразумевается обычно, что среда рассматривается макроскопически (то есть микроскопические поля — поля на атомных масштабах — усредняются, атомные, молекулярные токи и магнитные моменты также рассматриваются только в их совокупности). На микроскопическом уровне действуют[4] фундаментальные уравнения для вакуума, описанные в статье выше, поэтому в контексте исследования в среде уравнения для ваккма называются также микроскопическими уравнениями в противоположность самим макроскопическим уравнениям для поля в среде.

Формулы для действия поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера) для случая магнитных сред сохраняются полностью неизменными, такими же, как и для вакуума.

Что касается остальных уравнений, они претерпевают для среды определенные изменения по сравнению с вакуумом (имеются в виду, конечно, макроскопические уравнения, микроскопические остаются теми же, что и для вакуума).

В принципе, можно вводить эти изменения по-разному[5], но весьма общий, традиционный и удобный подход, являющийся общепринятым и стандартным[6] : записать уравнения с использованием вспомогательной физической величины напряженность магнитного поля \vec H, специально вводимой в этом случае.

\vec H= \frac{1}{\mu_0}\vec B - \vec M, где \mu_0

— в системе СИ,

\vec H = \vec B - 4\pi \vec M

— в системе СГС.

Смысл её введения состоит в том, что с её помощью можно переписать все основные уравнения в виде, очень похожем на тот, что имеют фундаментальные уравнения (для вакуума), а всё касающееся реальной среды поместить по возможности в отдельное уравнение, что позволяет лучше логически структурировать задачу. В сравнительно простых, но важных случаях, к которым относится и практически вся магнитостатика, это удается сделать настолько хорошо, что, в принципе, действительно всё, касающееся конкретной среды, оказывается полностью спрятано в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу)[7] вида \vec M = f(\vec H) (для случая ферромагнетиков, если требовать точности описания, несколько сложнее, но ненамного).

При этом, что также ценно, уравнения для вакуума становятся частным случаем уравнений для среды (случаем среды с всегда нулевой намагниченностью).

  • В простейшем, но практически важном случае линейного[8] отклика среды на намагничивающее поле, \vec B просто пропорционально \vec H, а если среда изотропна по своим магнитным свойствам, то это сводится просто к умножению на число:
\vec B = \mu_0\mu\vec H
в СИ[9].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Нелинейность уравнений возникать только для уравнений для среды (о которых написано в отдельном параграфе, в их материальной части, и то в «материальных» уравнениях. Фундаментальные же уравнения (обсуждаемые в этом параграфе) сохраняют точную линейность практически всегда.
  2. Здесь записаны в гауссовой системе единиц, для вакуума (пояснения последнего — см. в разделе Уравнения магнитостатики в среде).
  3. Дело в том, что «уравнения для вакуума» сами по себе вполне справедливы и для поля в магнитной среде (коротко говоря — хотя бы потому, что среда и состоит из частиц, находящихся в вакууме), однако для того, чтобы их применить, нужно иметь в виду при их записи все токи (включая микроскопические токи, обусловленные магнитной поляризацией среды, в том числе молекулярные токи и даже токи, соответствующие магнитным моментам отдельных элементарных элементарных частиц), причем отчасти эти токи зачастую обусловлены довольно нетривиальными свойствами среды, не сводящимися к собственно электромагнетизму. В этом смысле «уравнения для среды» — заметно удобнее, так как, являясь феноменологическими уравнениями, включают то, что касается поляризации среды в уже достаточно компактном виде. С другой стороны, уравнения для среды в частном случае, а именно в случае нулевой магнитной восприимчивости среды, каковой обладает вакуум (в нем отсутствует вещество, способное поляризоваться), переходят в уравнения для вакуума (ведь вакуум — это частный случай среды: среда с отсутствием магнетиков), то есть оказываются применимыми и для него. Хотя при этом, конечно, название уравнения для среды вполне оправдано, так как для описания поля в вакууме они избыточны.
  4. До той степени, до какой они не ограничиваются квантовыми поправками; впрочем, для обычных магнетиков вмешательство квантовой теории в итоге довольно невелико, и часто можно для среды эффективно пользоваться достаточно простыми чисто классическими моделями.
  5. Например, для решения каких-то частных простых задач стандартный подход в полном виде может быть несколько избыточным; впрочем, и тогда часто разумно просто воспользоваться какими-то более простыми формулами, являющимися его следствиями.
  6. И используемым не только в магнитостатике, но и в электродинамике в целом; там, правда, используется ещё одна вспомогательная величина, вводимая по очень сходной логике для электрического поля.
  7. В электродинамике в общем случае это труднее, прежде всего, по той причине, что поведение среды в поле, зависящем от времени, в принципе, гораздо сложнее, чем в постоянном поле.
  8. Иногда такую линейность можно использовать в качестве более или менее грубого приближения, но достаточно часто — и в качестве очень точного.
  9. :\vec B = \mu\vec H
    в СГС.