Лента Мёбиуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лента Мёбиуса

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство \R^3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.
  • Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (афганская лента).
  • Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Уравнения[править | править исходный текст]

Параметрическое описание листа Мёбиуса.
Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные \scriptstyle{A} так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества \R^3 является параметризация:

 x (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos u,
 y (u, v) = \left (1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin u,
 z (u, v) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2},

где  0\leqslant u <2\pi и -1\leqslant v\leqslant 1 . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x-y с центром в (0,\;0,\;0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r,\;\theta,\;z) неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

 ~\log r \sin (\theta/2) = z \cos (\theta/2),

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
  • Ленту Мёбиуса возможно поместить в \R^3 с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем: пусть C будет единичным кругом в плоскости xy в \R^3. Соединив антиподные точки на C, то есть точки под углами \theta и \theta + \pi дугой круга, получим, что для \theta между 0 и  \pi/2 дуги лежат выше плоскости xy, а для других \theta ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy).
    • Тем не менее, любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.

Открытые вопросы[править | править исходный текст]

  1. Каково минимальное k такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается), (доказанная оценка снизу \frac{\pi}{2}, сверху \sqrt 3 )[1]
  2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путем складывания плоского листа бумаги? (вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?)[2].
    • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, была недавно решена[3]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология[править | править исходный текст]

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II[4], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны "Двери в песке".

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo»[5]. Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью. В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов мультсериала "Футурама" представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Лента Мёбиуса и знак бесконечности[править | править исходный текст]

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ  \infty стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса[6] (см. символ бесконечности).

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
  • Другое похожее множество — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

Поверхность Кипенского[править | править исходный текст]

Односторонняя поверхность А. В. Кипенского

Поверхность Кипенского получается из трёх цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом. То, что поверхность односторонняя, видно из среднего рисунка, обход по синей линии возвращает к этой точке с другой стороны бумаги, хотя линия не переходит через край. Интересно, что если поверхность разрезать по красным линиям, она разбивается на две зеркально-симметричные части. Одна из них показана на нижнем рисунке. Такой вариант поверхности был придуман проф. А. В. Кипенским.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Фукс Д. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979.
  2. Randrup T., Rogen P. (1996). «Sides of the Möbius strip». Archiv der Mathematik 66: 511—521.
  3. Starostin E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). «The shape of a Möbius strip». Nature Materials. DOI:10.1038/nmat1929.
  4. http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW441.jpg
  5. (СПб.: Амфора, 2003)
  6. Лента Мебиуса//Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009

Ссылки[править | править исходный текст]