Индуктивный предел

Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект $X$ по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов $X_{i}$ и набору отображений $f_{ij}:X_{i}\to X_{j}$, $i\leqslant j$. Для индуктивного предела обычно используется обозначение

$X=\varinjlim X_{i}$.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть $I$ — направленное множество с отношением предпорядка $\leqslant$ и пусть каждому элементу $i\in I$ сопоставлен алгебраический объект $X_{i}$, а каждой паре $(i,\;j)$, $i,\;j\in I$, в которой $i\leqslant j$, сопоставлен гомоморфизм $f_{ij}:X_{i}\to X_{j}$, причём $f_{ii}$ — тождественные отображения для любого $i\in I$ и $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ для любых $i\leqslant j\leqslant k$ из $I$. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы $(X_{i},f_{ij})$ — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей $X_{i}$ по отношению эквивалентности:

$\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .$

Здесь $x_{i}\in X_{i}$ и $x_{j}\in X_{j}$ эквивалентны, если существует такое $k\in I$, что $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$.

Из этого определения легко получить канонические морфизмы $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на $X$ можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы $(X_{i},f_{ij})$ — это объект $X$ категории, такой что выполняются следующие условия:

1. существует такое семейство отображений $\phi _{i}:X_{i}\to X$, что $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}$ для любых $i\leqslant j$;
2. для любого семейства отображений $\psi _{i}:X_{i}\to Y$, в произвольное множества $Y$, для которого выполнены равенства $\psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}$ для любых $i\leqslant j$, существует единственное отображение $u:X\to Y$, что $\psi _{i}=u\circ \phi _{i}$, для всех $i\in I$.

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры

• На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
• Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pⁿZ и гомоморфизмов Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p^∞).
• Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (U ≤ V если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), r_U,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается F_x.
• Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии соответствующему множеству-носителю.

Литература

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485