Распределение Максвелла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция плотности распределения

Распределение Ма́ксвеллараспределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Распределение Максвелла может и должно быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы, где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая де Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

 \frac {N_i} {N} = \frac {\exp\left (-E_i/kT \right)} {\sum _ {j} ^ {} {\exp\left (-E_j/kT\right)}} \qquad\qquad (1) ,

где \,N_i является числом молекул имеющих энергию \,E_i при температуре системы \,T, \,N является общим числом молекул в системе и \,kпостоянная Больцмана. (Отметьте, что иногда вышеупомянутое уравнение записывается с множителем \,g_i, обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае сумма будет по всем энергиям, а не всем состояниям системы). Поскольку скорость связана с энергией, уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма.

Распределение Максвелла[править | править вики-текст]

Распределение по вектору импульса[править | править вики-текст]

Представленное ниже очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом.

В случае идеального газа, состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

 E =\frac {p^2} {2m} ,

где \,p^2 — квадрат вектора импульса \,\mathbf{p}=[p_x,p_y,p_z].

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

 \frac {N_i} {N} = \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (3) ,

где \,Zстатсумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), \,m — молекулярная масса газа, \,T — термодинамическая температура, и \,kпостоянная Больцмана. Это распределение \,N_i/N пропорционально функции плотности вероятности \,f_\mathbf{p} нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

 f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \frac {C} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (4)

Постоянная нормировки C, определяется из условия, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям \,p_x\,,p_y и \,p_z должен быть равен единице. Можно показать, что:

 \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \, dp_x \, dp_y \, dp_z = \frac {1} {Z} \left (2\pi m kT \right) ^ {3/2} \qquad\qquad (5) .

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

 c = \frac {Z} {(\sqrt {2 \pi mkT}) ^ 3} \qquad\qquad (6) .

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что \,p_i=mv_i, мы получим

 f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) = \sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (7) .

Распределение по вектору скорости[править | править вики-текст]

Учитывая, что плотность распределения по скоростям \,f_\mathbf{v} пропорциональна плотности распределения по импульсам:

 f_\mathbf {v} d^3v = f_\mathbf {p} \left (\frac {dp} {dv} \right) ^3 d^3v

и используя \,\mathbf{p}=m\mathbf{v} мы получим:

 f_\mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) = \sqrt {\left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT} \right] \qquad\qquad (8) ,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе \,dv_x\,,dv_y\,,dv_z около скорости \,\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z] равна

 f_\mathbf {v} \left (v_x, v_y, v_z\right) dv_x dv_y dv_z

Распределение по абсолютной величине импульса[править | править вики-текст]

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

 f_p = \int _ {\theta=0} ^ {\pi} \int _ {\phi=0} ^ {2\pi} ~ f_\mathbf {p} p^2 \sin (\theta) \, d\theta \, d\phi=4\pi\sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} ~p^2 \exp \left [\frac {-p^2} {2mkT} \right]

Распределение по энергии[править | править вики-текст]

Наконец, используя соотношения \,p^2=2\,mE и \, f_E\, dE=f_p\, dp , мы получаем распределение по кинетической энергии:

 f_E=f_p \frac{dp} {dE}  =2\sqrt {\frac {E} {\pi (kT) ^3}} ~ \exp\left [\frac {-E} {kT} \right]

Распределение по проекции скорости[править | править вики-текст]

Распределение Максвелла для вектора скорости \,[v_x,v_y,v_z] — является произведением распределений для каждого из трех направлений:

 f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z) ,

где распределение по одному направлению:

 f_v (v_i) = \sqrt {\frac {m} {2 \pi kT}} \exp \left [\frac {-mv_i^2} {2kT} \right] \qquad\qquad (9)

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение по модулю скоростей[править | править вики-текст]

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

 v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \qquad\qquad (10)

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все \,v_i распределены нормально, то \,v^2 будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если \,f(\mathbf{v})функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

 f\left (v\right) dv = P (\chi^2|3) d\chi^2 ,

где

 \chi^2 = \frac {mv^2} {kT}

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

 f (v) dv = 4 \pi v^2 \left ( \frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (\frac {-mv^2} {2kT} \right) dv \qquad\qquad (11)

Характерная скорость[править | править вики-текст]

Хотя Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.

Наиболее вероятная скорость[править | править вики-текст]

наиболее вероятная скорость, \,v_p — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению \,F(v). Чтобы найти её, необходимо вычислить \,dF/dv, приравнять её нулю и решить относительно \,v:

 \frac {dF(v)} {dv} = \left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (-mv^2/2kT \right) \left [8\pi v + 4 \pi v^2 (-mv/kT) \right] = 0\qquad\qquad (12)
 v_p = \sqrt {\frac {2kT} {m}} = \sqrt {\frac {2RT} {\mu}} \qquad\qquad (13)

Средняя скорость[править | править вики-текст]

 \langle v \rangle = \int\limits_0 ^ {\infin} v \, F (v) \, dv \qquad\qquad (14)

Подставляя \,F(v) и интегрируя, мы получим

 \langle v \rangle = \sqrt {\frac {8kT} {\pi m}} = \sqrt {\frac {8RT} {\pi\mu}} \qquad\qquad (15)

Среднеквадратичная скорость[править | править вики-текст]

 \langle v'^2 \rangle = \int\limits_0 ^ {\infin} v^2 \, F (v) \, dv \qquad\qquad (16)

Подставляя \,F(v) и интегрируя, мы получим

 \sqrt{\langle v'^2\rangle} = \sqrt {\frac {3kT} {m}} = \sqrt{\frac {3RT} {\mu}} \qquad\qquad (17)

Вывод распределения по Максвеллу[править | править вики-текст]

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл[источник не указан 1655 дней].
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат  Ov_x v_y v_z \! ) в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема  dv_x dv_y dv_z \! . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в  dv_x dv_y dv_z \! остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.

 dP(v_x) = \varphi(v_x)dv_x \qquad dP(v_y) = \varphi(v_y)dv_y \qquad dP(v_z) = \varphi(v_z)dv_z \!

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента  v_x \! скорости молекулы не зависит от  y- \! и  z- \! компонент.

 dP(v_x, v_y, v_z) = \underbrace{\varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z)}_{f(v)} dv_xdv_ydv_z \! - фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме  dv_x dv_y dv_z \! .
 f(v) = \varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z) \!
 \ln f(v) = \ln \varphi(v_x)+\ln \varphi(v_y)+\ln \varphi(v_z) \quad \bigg| \quad \frac{\partial}{\partial v_x} \!
 \frac{f'(v)}{f(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x} = \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)} \!
 \frac{\partial v}{\partial v_x} = \frac{v_x}{v}
 \frac{1}{v} \frac{f'(v)}{f(v)} = \frac{1}{v_x} \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)}  \!

Правая часть не зависит от  v_y \! и  v_z \! , значит и левая от  v_y \! и  v_z \! не зависит. Однако  v_x \! и  v_y \! равноправны, следовательно левая часть не зависит также и от  v_x \! . Значит данное выражение может лишь равняться некоторой константе.

 \frac{1}{v} \frac{f'(v)}{f(v)} = - \alpha  \!
 \frac{\varphi '(v_x)}{\varphi(v_x)} = - \alpha v_x \!
 \varphi (v_x) = A e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}}  \!
 \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} \varphi(v_x) \, dv_x = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x =  A \, \sqrt{\frac{2}{\alpha}} \, \sqrt{\pi} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} \!
 \varphi (v_x) = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}}  \!

Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

 \left\langle\frac{mv^2}{2}\right\rangle = \frac{3}{2}kT,  \!

где  k = 1.38 \cdot 10^{-23}   \! Дж/К - постоянная Больцмана.

 v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \!

Ввиду равноправия всех направлений:

 \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{kT}{m} \!

Чтобы найти среднее значение  v_x^2 \! , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

 \frac{kT}{m} = \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} {v_x}^2 \, \varphi(v_x) \, dv_x = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} \, \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} v_x^2 \, e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x = \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}}\left[ -2 \, \frac{d}{d \alpha} \, \int\limits_{-\infin} ^ {\infin} e^{-\frac{\alpha {v_x}^2}{2}} \, dv_x \right] =  -2 \, \sqrt{\frac{\alpha}{2 \pi}} \, \frac{\delta}{\delta \alpha} \sqrt{\frac{2 \pi}{\alpha}} = - 2 \sqrt{\alpha} (-\frac{1}{2} \alpha^{-\frac{3}{2}}) = \frac{1}{\alpha} \!

Отсюда найдём  \alpha \! :

 \alpha = \frac{m}{kT} \!

Функция распределения плотности вероятности для  v_x \! (для  v_y \! и  v_z \! аналогично):

 \varphi (v_x) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{1}{2}} \, e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}} \!

Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости  v \subset [v; v+dv] \! лежат в шаровом слое радиуса  v \! и толщины  dv \! , и  dv_x dv_y dv_z \! - объем этого шарового слоя.

 dP(v_x, v_y, v_z) = \varphi(v_x)\varphi(v_y)\varphi(v_z) dv_xdv_ydv_z \!
 \underbrace{dP (v_x, v_y, v_z)}_{dP(v)} = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \, e^{-\frac{mv_x^2 + mv_y^2 + mv_z^2}{2kT}} \underbrace{dv_x dv_y dv_z}_{4\pi v^2 dv} \!
 dP(v) = \underbrace{4\pi \, \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \, v^2 \, e^{-\frac{mv^2}{2kT}}}_{F(v)} dv \!

Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности  F(v) \! , которая и является распределением Максвелла.

Границы применимости[править | править вики-текст]

Условия применимости распределения Максвелла:

1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).

Условия классического рассмотрения[править | править вики-текст]

Рассматриваем объем xyz в газе, на который в среднем приходится 1 частица. Чтобы неопределенности в координате и импульсе не играли роли и применялась бы классическая, а не квантовая механика, должны выполняться соотношения:

 x p_x \gg h \qquad y p_y \gg h \qquad z p_z \gg h, \qquad  \! где  h \! - постоянная Планка.
 V p^3 \gg h^3 ; \qquad V = \frac{1}{n} \qquad \! - объем, приходящийся на частицу - это полный (единичный) объем, поделенный на количество частиц.
 n \, {\left(\frac{h}{p}\right)}^3 \ll 1  \!
 n^{\frac{1}{3}} \, \frac{h}{m \, \sqrt{\frac{3kT}{m}}} \ll 1  \!
 \frac{n^{\frac{2}{3}} h^2}{3mkT} \ll 1  \!
 T \gg \frac{n^{\frac{2}{3}} h^2}{3mk} = T_{deg} \qquad \! - температура вырождения.


При температурах (1.2.3) ниже  T_{deg} \! газ становится вырожденным, и распределение Максвелла к нему применять нельзя.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

http://www.falstad.com/gas/